Apa solusi untuk (z-1) ^ 3 = 8i?

Menjawab:

#z dalam {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Penjelasan:

Untuk masalah ini, kita perlu mengetahui cara menemukan # n ^ "th" # akar bilangan kompleks. Untuk melakukan ini, kami akan menggunakan identitas

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Karena identitas ini, kami dapat mewakili bilangan kompleks apa pun sebagai

# a + bi = Re ^ (itheta) # dimana #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # dan #theta = arctan (b / a) #

Sekarang kita akan membahas langkah - langkah untuk menemukan # 3 ^ "rd" # akar bilangan kompleks # a + bi #. Langkah-langkah untuk menemukan # n ^ "th" # Akarnya serupa.

Diberikan # a + bi = Re ^ (itheta) # kami sedang mencari semua bilangan kompleks # z # seperti yang

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Sebagai # z # adalah bilangan kompleks, ada di sana # R_0 # dan # theta_0 # seperti yang

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Kemudian

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Dari ini, kita langsung punya # R_0 = R ^ (1/3) #. Kami juga dapat menyamakan eksponen # e #, tetapi mencatat bahwa sebagai sinus dan cosinus adalah periodik dengan periode # 2pi #, lalu dari identitas aslinya, # e ^ (itheta) # akan juga. Lalu kita punya

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # dimana #k di ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # dimana #k di ZZ #

Namun, seolah kami terus menambahkan # 2pi # berulang-ulang, kita akan berakhir dengan nilai yang sama, kita dapat mengabaikan nilai yang berlebihan dengan menambahkan batasan # theta_0 dalam 0, 2pi) #, itu adalah, #k dalam {0, 1, 2} #

Menyatukan semuanya, kita mendapatkan solusi yang ditetapkan

#z dalam {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

Kami dapat mengonversi ini kembali ke # a + bi # formulir jika diinginkan menggunakan identitas

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Menerapkan hal di atas untuk masalah yang dihadapi:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Dengan menggunakan proses di atas, kita dapat menemukan # 3 ^ "rd" # akar dari #saya#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) dalam {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Menerapkan # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # kita punya

# i ^ (1/3) dalam {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Akhirnya, kami mengganti nilai-nilai ini untuk #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z dalam {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #