Apa nilai-nilai r (dengan r> 0) yang untuknya seri terkonvergensi?

Menjawab:

#r <1 / e # adalah kondisi untuk konvergensi #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Penjelasan:

Saya hanya akan menjawab bagian tentang konvergensi, bagian pertama dijawab dalam komentar. Kita bisa gunakan # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # untuk menulis ulang jumlahnya #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # dalam bentuk

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) #

Seri di sebelah kanan adalah bentuk seri untuk fungsi Riemann Zeta yang terkenal. Diketahui bahwa seri ini konvergen kapan #p> 1 #. Menggunakan hasil ini secara langsung memberi

# -ln (r)> 1 menyiratkan ln (r) <- 1 menyiratkan r <e ^ -1 = 1 / e #

Hasil tentang fungsi Riemann Zeta sangat terkenal, Jika Anda menginginkan ab initio jawabannya, Anda dapat mencoba tes integral untuk konvergensi.