Selesaikan persamaan berikut: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Menjawab:

# x = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Penjelasan ini memberikan metode yang agak mendalam dalam menentukan langkah-langkah untuk menemukan faktor-faktor yang memungkinkan untuk menulis ulang persamaan tipe kuadrat sehingga dapat dipecahkan tanpa persamaan kuadratik dan / atau kalkulator.

Penjelasan:

Kuadrat pertama istilah di sisi kiri persamaan.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Perluas binomial kuadrat. Ingat itu # (x ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Kita dapat menghapus pecahan dengan mengalikan persamaan dengan penyebut paling umum dari #3,25,# dan #9,# yang mana #225#.

Catat itu #225=3^2*5^2#jadi #225/3=75#, #225/25=9#, dan #225/9=25#.

Mengalikan melalui oleh #225# memberi:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 +1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Bagikan setiap konstanta multiplikasi.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Pindahkan semua istilah ke satu sisi dan susun ulang persamaannya.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Ini berpotensi menjadi faktor: kurangnya # x ^ 3 # dan # x # istilah berarti bahwa ini mungkin dapat diperhitungkan dalam bentuk # (x ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Untuk menguji faktor-faktor, perhatikan bahwa kita harus menemukan sepasang bilangan bulat yang produknya merupakan produk dari koefisien pertama dan terakhir, yang merupakan # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Bilangan bulat yang sama dengan produknya #3^2*11*19# harus memiliki jumlah #-118#.

Karena produk positif dan jumlah negatif, kami tahu kedua bilangan bulat akan positif.

Kuncinya sekarang adalah menemukan beberapa kombinasi angka yang berasal #3^2*11*19# yang jumlahnya #118#. (Jika kami menemukan versi positif, kami dapat dengan mudah mengganti kedua angka ke bentuk negatifnya.)

Kita harus berusaha menemukan pengelompokan faktor-faktor dari #3^2*11*19# itu tidak melebihi #118#.

Kita dapat terlebih dahulu menghilangkan kemungkinan #3^2*19# dan #11*19# terjadi sebagai salah satu dari dua bilangan bulat kami, karena keduanya lebih besar dari #118#. Jadi, jika kita fokus #19# karena itu adalah faktor terbesar, kita tahu itu hanya akan ada sebagai keduanya #19# atau #3*19#.

Jadi, hanya dua opsi kami untuk bilangan bulat adalah:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Oleh karena itu pasangan nomor kami yang produknya #3^2*11*19# dan jumlahnya #118# aku s #19# dan #99#.

Dari sini kita dapat menulis kuartik sebagai:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Faktor berdasarkan pengelompokan:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Bagi ini menjadi dua persamaan:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Menjawab:

Persamaan dengan pecahan selalu terlihat lebih buruk daripada mereka. Selama Anda memiliki persamaan dan bukan ekspresi, Anda dapat menyingkirkan penyebut dengan mengalikannya dengan LCM penyebut.

Penjelasan:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Mari kita mulai dengan mengkuadratkan penyebut dalam term kedua.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Sekarang gandakan setiap istilah dengan 225 untuk membatalkan penyebut.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + membatalkan (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = batalkan (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Ini jelas kuadrat, jadi jadikan itu sama dengan 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Perhatikan bahwa istilah pertama dan ketiga seperti istilah, sehingga kami dapat menambahkannya bersama. Juga persegi istilah tengah.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Hapus kurung oleh hukum distributif:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Menyederhanakan: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Menjelajahi faktor-faktor dari 9 dan 209 mengarah ke

9 = 3x3, atau 9x1 dan 209 = 11 x 19

Kombinasi faktor-faktor yang menambah 118 adalah 99 + 19

Memberi faktor memberi # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Jika # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Jika # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #