Apa rumus umum untuk membedakan polinomial derajat n?

Menjawab:

Lihat penjelasan …

Penjelasan:

Diskriminan polinomial #f (x) # derajat # n # dapat dijelaskan dalam hal penentu matriks Sylvester #f (x) # dan #f '(x) # sebagai berikut:

Diberikan:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Kita punya:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Matriks Sylvester dari #f (x) # dan #f '(x) # adalah # (2n-1) xx (2n-1) # matriks dibentuk menggunakan koefisien mereka, mirip dengan contoh berikut untuk # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_2, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Lalu yang diskriminan #Delta# diberikan dalam hal penentu matriks Sylvester dengan rumus:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Untuk # n = 2 # kita punya:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(yang mungkin Anda temukan lebih mudah dikenali dalam formulir #Delta = b ^ 2-4ac #)

Untuk # n = 3 # kita punya:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (white) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Diskriminan untuk kuadratika (# n = 2 #) dan kubik (# n = 3 #) adalah yang paling berguna karena mereka memberi tahu Anda dengan tepat berapa banyak nol kompleks nyata, berulang atau tidak nyata yang dimiliki polinomial.

Interpretasi diskriminan untuk polinomial tingkat tinggi lebih terbatas, tetapi selalu memiliki sifat bahwa polinomial telah mengulangi nol jika dan hanya jika diskriminan itu nol.

#warna putih)()#

Bacaan lebih lanjut

Lihat