Pertanyaan # ba262

Menjawab:

Buktinya agak panjang, tapi bisa dikelola. Lihat di bawah.

Penjelasan:

Saat mencoba membuktikan identitas trigonometri yang melibatkan pecahan, selalu merupakan ide bagus untuk menambahkan pecahan terlebih dahulu:

# sint / (1-biaya) + (1 + biaya) / sint = (2 (1 + biaya)) / sint #

# -> sint / (1-biaya) sint / sint + (1 + biaya) / sint (1-biaya) / (1-biaya) = (2 (1 + biaya)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-cost) (sint)) + ((1 + cost) (1-cost)) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + cost)) / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + biaya) (1-biaya)) / ((1-biaya) (sint)) = (2 (1 + biaya)) / sint #

Ekspresi # (1 + biaya) (1-biaya) # sebenarnya adalah perbedaan dari kotak yang tersamar:

# (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Dengan # a = 1 # dan # b = biaya #. Ini mengevaluasi ke # (1) ^ 2- (biaya) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Kita bisa melangkah lebih jauh dengan # 1-cos ^ 2t #. Ingat kembali Identitas Pythagoras dasar:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Mengurangkan # cos ^ 2x # dari kedua sisi, kita melihat:

# sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Sejak # x # hanyalah variabel placeholder, kita dapat mengatakan itu # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. Oleh karena itu, # (1 + biaya) (1-biaya) # menjadi # sin ^ 2t #:

# (sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + biaya)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + biaya)) / sint #

Perhatikan bahwa sinus membatalkan:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-cost) cancel ((sint))) = (2 (1 + biaya)) / sint #

# -> (2sint) / (1-cost) = (2 (1 + cost)) / sint #

Kita hampir selesai. Langkah terakhir adalah mengalikan sisi kiri dengan konjugasi # 1-biaya # (yang mana # 1 + biaya #), untuk mengambil keuntungan dari perbedaan properti kuadrat:

# (2sint) / (1-cost) (1 + cost) / (1 + cost) = (2 (1 + cost)) / sint #

# -> (2sint (1 + biaya)) / ((1-biaya) (1 + biaya)) = (2 (1 + biaya)) / sint #

Sekali lagi, kita bisa melihatnya # (1-biaya) (1 + biaya) # perbedaan kotak, dengan # a = 1 # dan # b = biaya #. Ini mengevaluasi ke # (1) ^ 2- (biaya) ^ 2 #, atau # 1-cos ^ 2t #. Kami sudah menunjukkan itu # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, jadi penyebut diganti:

# (2sint (1 + biaya)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + biaya)) / sint #

Sines membatalkan:

# (2cancel (sint) (1 + biaya)) / (batal (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + biaya)) / sint #

Dan voila, bukti lengkap:

# (2 (1 + biaya)) / sint = (2 (1 + biaya)) / sint #

Menjawab:

Biarkan aku mencoba

Penjelasan:

# LHS = sint / (1-biaya) + (1 + biaya) / sint #

Memeriksa RHS, kami memiliki kesamaan# (1 + biaya) / sint #

Begitu

# LHS = (1 + biaya) / sint (sint / (1 + biaya) * sint / (1-biaya) +1) #

# = (1 + biaya) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + biaya) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + biaya) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + biaya)) / sint = RHS #

Terbukti