Mengevaluasi integral tak terbatas: qsqrt (10x x ^ 2) dx?

Menjawab:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Penjelasan:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Lengkapi kotak, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Pengganti # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Pengganti # u = 5sin (v) # dan # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Menyederhanakan, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Menyaring, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Keluarkan konstanta, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Terapkan rumus sudut ganda, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Keluarkan konstanta, # 25 / 2tidak "" 1 + cos (2v) "" dv #

Mengintegrasikan, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Pengganti kembali # v = arcsin (u / 5) # dan # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + batalkan (1 / 2sin) (batalkan (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Menyederhanakan, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Menyaring, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #dimana # c # adalah konstanta integrasi.

Tadaa: D

Menjawab:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Penjelasan:

apa yang #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Perhatikan bahwa domain fungsi yang diintegrasikan adalah di mana kuadratik dalam adalah positif, mis. #x dalam 0, 10 #

Ungkapan ini dapat diintegrasikan menggunakan substitusi. Meskipun jalur yang memungkinkan untuk integrasi tidak segera muncul dengan sendirinya, jika kita bersaing dengan square, maka substitusi trigonometri dapat dilakukan:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Yang, kami perhatikan, adalah dalam bentuk substitusi trigonometri klasik, yaitu kuadrat angka minus kuadrat linier # x # fungsi.

Pertama, untuk menghilangkan linear, kami biarkan #u = x-5 #, pemberian yang mana # du = dx #, jadi kita dapat menulis ulang integral di atas sebagai:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Sekarang untuk subtitusi kedua, mari #u = 5sintheta #, yang mengubah integral ke:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (kita dapat mengabaikan tanda kurung nilai absolut)

Tentu saja # dx # tidak membantu, jadi kami membedakan persamaan substitusi untuk mendapatkan: #du = 5costheta d theta #, jadi integralnya menjadi:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Sekarang kita bisa menggunakan rumus sudut ganda untuk melakukan integrasi # cos ^ 2 theta # lebih mudah:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Jadi integral menjadi:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (menggunakan rumus sudut ganda)

Sekarang, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Karenanya, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

Dan, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #