Biarkan S menjadi kuadrat luas unit. Pertimbangkan setiap segiempat yang memiliki satu simpul pada setiap sisi S. Jika a, b, c dan d menunjukkan panjang sisi segi empat, buktikan bahwa 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Membiarkan # ABCD # menjadi kuadrat luas unit.

Begitu # AB = BC = CD = DA = 1 # satuan.

Membiarkan # PQRS # menjadi segiempat yang memiliki satu simpul di setiap sisi alun-alun. Sini mari # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Menerapkan Pythagoras thorem, kita bisa menulis

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Sekarang oleh masalah yang kita miliki

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Karenanya

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #