X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (faktorise)?

Menjawab:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (x ^ 2- (alpha + bar (alpha)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alpha + omegabar (alpha)) x + 2) #

seperti yang dijelaskan di bawah ini …

Penjelasan:

Peringatan:

Jawaban ini mungkin lebih maju dari yang Anda tahu.

Catatan

Dimungkinkan untuk menyederhanakan dan menemukan:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alpha) = -1 #

tetapi belum jelas bagi saya bagaimana cara terbaik untuk melakukan ini.

Menjawab:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Penjelasan:

Inilah metode yang lebih sederhana …

Diberikan:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Cari faktorisasi bentuk:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = x ^ 6 + (alpha + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alpha + beta + gamma) x + 8 #

Kami menyamakan koefisien yang kami temukan:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Begitu #alpha, beta, gamma # adalah nol dari kubik:

# (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

Perhatikan bahwa jumlah koefisien kubik ini adalah #0#. Itu adalah #1-6+5 = 0#.

Karenanya # x = 1 # adalah nol dan # (x-1) # sebuah faktor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Nol dari kuadratik yang tersisa dapat ditemukan menggunakan rumus kuadratik sebagai:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Begitu # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Begitu:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bonus

Bisakah kita menggeneralisasi derivasi di atas?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = x ^ 6 + (alfa + beta + gamma) x ^ 5 + (alfabet + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alfabet + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alpha + beta + gamma) x + q ^ 3 #

Koefisien penyamaan:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Karenanya #alpha, beta, gamma # adalah nol dari:

# x ^ 3-3qx-p #

Jadi jika kita dapat menemukan tiga nol nyata dari kubik ini, maka kita memiliki factorisation dari para sextic # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # menjadi tiga kuadrat dengan koefisien nyata.