Misalkan 5a + 12b dan 12a + 5b menjadi panjang sisi dari segitiga siku-siku dan 13a + kb menjadi hipotenuse, di mana a, b dan k adalah bilangan bulat positif. Bagaimana Anda menemukan nilai k yang terkecil dan nilai a dan b terkecil untuk k itu?

Menjawab:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Penjelasan:

Dengan teorema Pythagoras, kita memiliki:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Itu adalah:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (white) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Kurangi sisi kiri dari kedua ujung untuk menemukan:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (white) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Sejak #b> 0 # kami membutuhkan:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Lalu sejak itu #a, b> 0 # kami membutuhkan # (240-26k) # dan # (169-k ^ 2) # untuk memiliki tanda-tanda yang berlawanan.

Kapan #k dalam 1, 9 # kedua # 240-26k # dan # 169-k ^ 2 # positif.

Kapan #k dalam 10, 12 # kami menemukan # 240-26k <0 # dan # 169-k ^ 2> 0 # seperti yang dipersyaratkan.

Jadi nilai minimum yang mungkin # k # aku s #10#.

Kemudian:

# -20a + 69b = 0 #

Lalu sejak itu #20# dan #69# tidak memiliki faktor umum yang lebih besar dari #1#, nilai minimum #Sebuah# dan # b # adalah #69# dan #20# masing-masing.