Apa logaritma angka negatif?

Logaritma bilangan negatif tidak didefinisikan dalam bilangan real, dengan cara yang sama bahwa akar kuadrat dari bilangan negatif tidak didefinisikan dalam bilangan real. Jika Anda diharapkan menemukan log dari angka negatif, jawaban "tidak terdefinisi" sudah cukup dalam banyak kasus.

Saya t aku s mungkin untuk mengevaluasi satu, namun, jawabannya akan menjadi bilangan kompleks. (sejumlah formulir #a + bi #dimana #i = sqrt (-1) #)

Jika Anda terbiasa dengan angka-angka yang kompleks dan merasa nyaman bekerja dengan mereka, maka baca terus.

Pertama, mari kita mulai dengan kasus umum:

#log_b (-x) =? #

Kami akan menggunakan aturan perubahan basis dan mengonversi ke logaritma natural, untuk mempermudah selanjutnya:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Catat itu #ln (-x) # adalah hal yang sama dengan #ln (-1 * x) #. Kami dapat mengeksploitasi properti tambahan logaritma, dan memisahkan bagian ini menjadi dua log terpisah:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Sekarang satu-satunya masalah adalah mencari tahu apa #ln (-1) # aku s. Mungkin terlihat seperti hal yang mustahil untuk dievaluasi pada awalnya, tetapi ada persamaan yang cukup terkenal yang dikenal sebagai Identitas Euler yang dapat membantu kita.

Status Identitas Euler:

# e ^ (ipi) = -1 #

Hasil ini berasal dari ekspansi seri sine dan cosinus. (Saya tidak akan menjelaskannya terlalu mendalam, tetapi jika Anda tertarik, ada halaman yang bagus di sini yang menjelaskan lebih banyak)

Untuk saat ini, mari kita ambil log natural dari kedua sisi Identitas Euler:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Sederhana:

#ipi = ln (-1) #

Jadi, sekarang kita sudah tahu apa #ln (-1) # adalah, kita dapat mengganti kembali ke persamaan kita:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Sekarang Anda memiliki formula untuk menemukan log angka negatif. Jadi, jika kita ingin mengevaluasi sesuatu seperti # log_2 10 #, kita cukup mencolokkan beberapa nilai:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #