Hitung jumlah_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Menjawab:

Seri Telescoping 1

Penjelasan:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n +1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1))) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

Ini adalah seri runtuh (telescoping).

Istilah pertamanya adalah

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Ini setara dengan

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + jumlah_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 jumlah_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

Tunjukkan bahwa 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), untuk n> 1?

Di bawah Untuk menunjukkan bahwa ketidaksetaraan itu benar, Anda menggunakan induksi matematika 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) untuk n> 1 Langkah 1: Buktikan benar untuk n = 2 LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 Karena 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, maka LHS> RHS. Oleh karena itu, benar untuk n = 2 Langkah 2: Asumsikan true untuk n = k dengan k adalah bilangan bulat dan k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Langkah 3: Ketika n = k + 1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) yaitu 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk +

Panjang sisi dari segitiga akut adalah sqrtn, sqrt (n + 1), dan sqrt (n + 2). Bagaimana Anda menemukan n?

Jika segitiga adalah segitiga siku-siku maka kuadrat dari sisi terbesar sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lebih kecil. Tapi segitiga itu bersudut tajam. Jadi kuadrat dari sisi terbesar lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi yang lebih kecil. Maka (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1