Secara matematis menurunkan akar warna (putih) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Menjawab:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # untuk #n = 0, 1, 2 #

Penjelasan:

Diberikan:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Substitusi trigonometri

Karena kubik ini memiliki #3# nol nyata, metode Cardano akan menghasilkan ekspresi yang melibatkan akar kubus tak tereduksi dari bilangan kompleks. Metode Cardano tidak salah, tetapi tidak terlalu ramah, kecuali akar kubus memiliki bentuk sederhana.

Sebagai alternatif dalam kasus seperti itu, saya akan memilih untuk menggunakan substitusi trigonometri.

Membiarkan:

#x = k cos theta #

Kuncinya adalah memilih # k # sedemikian rupa sehingga ekspresi yang dihasilkan berisi # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Kita punya:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (white) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (white) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # dengan # k = 2 #

#color (white) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Begitu:

#cos 3 theta = 1/2 #

Begitu:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # untuk bilangan bulat apa pun # n #

Begitu:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # untuk bilangan bulat apa pun # n #

Ini akan memberi #3# nilai yang mungkin berbeda dari #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # untuk #n = 0, 1, 2 #.