Tunjukkan bahwa persamaan x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 memiliki tepat satu solusi pada [0, 1]?

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Pertama-tama, mari kita hitung #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # pada batas domain kami:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Jika kita menghitung turunannya

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Kita dapat melihat bahwa itu selalu positif #0,1#. Faktanya, # x ^ 2 + 1 # selalu positif, dan # 4x # jelas positif, karena # x # positif.

Jadi, fungsi kita mulai di bawah # x # sumbu, sejak #f (0) <0 #, dan berakhir di atas # x # sumbu, sejak #f (1)> 0 #. Fungsi ini polinomial, dan karenanya kontinu.

Jika garis kontinu dimulai di bawah sumbu dan berakhir di atas, itu berarti bahwa garis itu harus melewati suatu tempat di antaranya. Dan fakta bahwa turunannya selalu positif berarti bahwa fungsinya selalu bertambah, sehingga tidak dapat melewati poros dua kali, karenanya buktinya.