Apa deret Taylor dari f (x) = arctan (x)?

#f (x) = jumlah_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Mari kita lihat beberapa detail.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Ingat bahwa seri kekuatan geometris

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

dengan mengganti # x # oleh # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Begitu, #f '(x) = jumlah_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Dengan mengintegrasikan, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

dengan menempatkan tanda integral di dalam penjumlahan, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

oleh Power Rule, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Sejak #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = jumlah_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Karenanya, #f (x) = jumlah_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Istilah r _ ("th") dari deret geometri adalah (2r + 1) cdot 2 ^ r. Jumlah dari n suku pertama dari seri adalah apa?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = jumlah_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + jumlah_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = jumlah_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1- 2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = jumlah_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 jumlah_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 Mari kita memverifikasi S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 +

Apa perbedaan antara deret tak hingga dan deret tak terbatas?

Urutan angka yang tidak terbatas adalah daftar angka yang diurutkan dengan jumlah angka yang tidak terbatas. Serangkaian infinite dapat dianggap sebagai jumlah dari deret infinite.

Istilah pertama dari deret geometri adalah 4 dan pengali, atau rasio, adalah –2. Berapa jumlah dari 5 syarat pertama dari urutan?

Istilah pertama = a_1 = 4, rasio umum = r = -2 dan jumlah istilah = n = 5 Jumlah deret geometri hingga n diberikan oleh S_n = (a_1 (1-r ^ n)) / (1-r ) Di mana S_n adalah jumlah ke n istilah, n adalah jumlah istilah, a_1 adalah istilah pertama, r adalah rasio umum. Di sini a_1 = 4, n = 5 dan r = -2 menyiratkan S_5 = (4 (1 - (- 2) ^ 5)) / (1 - (- 2)) = (4 (1 - (- 32)))) / (1 + 2) = (4 (1 + 32)) / 3 = (4 (33)) / 3 = 4 * 11 = 44 Maka, jumlahnya adalah 44