Bagaimana Anda menemukan aproksimasi linear ke root (4) (84)?

Menjawab:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Penjelasan:

Catat itu #3^4 = 81#, yang dekat dengan #84#.

Begitu #root (4) (84) # sedikit lebih besar dari #3#.

Untuk mendapatkan perkiraan yang lebih baik, kita dapat menggunakan pendekatan linier, a.k.a. dengan metode Newton.

Menetapkan:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Kemudian:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

dan diberi perkiraan nol # x = a # dari #f (x) #, perkiraan yang lebih baik adalah:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Jadi dalam kasus kami, menempatkan # a = 3 #, perkiraan yang lebih baik adalah:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar (7) #

Ini hampir akurat #4# angka signifikan, tapi mari kita kutip perkiraan sebagai #3.03#

Menjawab:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

Penjelasan:

Perhatikan bahwa pendekatan linier mendekati titik #Sebuah# dapat diberikan oleh:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Jika diberikan: #f (x) = root (4) (x) #

maka pilihan yang cocok untuk #Sebuah# akan menjadi # a = 81 # karena kita tahu #root (4) 81 = 3 # persis dan dekat #84#.

Begitu:

#f (a) = f (81) = root (4) (81) = 3 #

Juga;

#f (x) = x ^ (1/4) # begitu #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Karena itu kami dapat memperkirakan (dekat #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Begitu:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Nilai yang lebih akurat adalah #3.02740#

jadi pendekatan liniernya cukup dekat.

Menjawab:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Penjelasan:

Kita dapat mengatakan bahwa kita memiliki fungsi #f (x) = root (4) (x) #

dan # root (4) (84) = f (84) #

Sekarang, mari cari turunan dari fungsi kita.

Kami menggunakan aturan daya, yang menyatakan bahwa jika #f (x) = x ^ n #, kemudian #f '(x) = nx ^ (n-1) # dimana # n # adalah konstan.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Sekarang, untuk perkiraan # root (4) (84) #, kami mencoba menemukan kekuatan keempat sempurna yang paling dekat dengan 84

Ayo lihat…

#1#

#16#

#81#

#256#

Kami melihat itu #81# adalah yang terdekat kami.

Kami sekarang menemukan garis singgung fungsi kami ketika # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Ini adalah kemiringan yang kita cari.

Mari kita coba menulis persamaan garis singgung dalam bentuk # y = mx + b #

Ya, apa itu # y # sama dengan kapan # x = 81 #?

Ayo lihat…

#f (81) = root (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Karena itu, kami sekarang memiliki:

# 3 = m81 + b # Kita tahu bahwa lereng, # m #, aku s #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Kita sekarang bisa menyelesaikannya # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Oleh karena itu, persamaan garis singgung adalah # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Kami sekarang menggunakan 84 di tempat # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Karena itu, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #