Gunakan Teorema Nol Rasional untuk menemukan nol yang mungkin dari fungsi polinomial berikut: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Menjawab:

Mungkin rasional nol adalah:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Penjelasan:

Diberikan:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Dengan teorema nol rasional, setiap nol rasional dari #f (x) # dapat diekspresikan dalam bentuk # p / q # untuk bilangan bulat #p, q # dengan # p # pembagi istilah konstan #-35# dan # q # pembagi koefisien #33# dari istilah terkemuka.

Pembagi dari #-35# adalah:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Pembagi dari #33# adalah:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Jadi nol rasional yang mungkin adalah:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

atau dalam urutan ukuran yang meningkat:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Perhatikan bahwa ini hanyalah kemungkinan rasional. Teorema nol rasional tidak memberi tahu kita tentang kemungkinan nol yang irasional atau kompleks.

Menggunakan Aturan Tanda Descartes, kita dapat menentukan bahwa kubik ini tidak memiliki nol negatif dan #1# atau #3# nol nyata positif.

Jadi satu-satunya nol rasional yang mungkin adalah:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Mencoba masing-masing secara bergantian, kami menemukan:

#f (1/11) = 33 (warna (biru) (1/11)) ^ 3-245 (warna (biru) (1/11)) ^ 2 + 407 (warna (biru) (1/11)) -35 #

#color (white) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (white) (f (1/11)) = 0 #

Begitu # x = 1/11 # adalah nol dan # 11x-1 # sebuah faktor:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Untuk memperhitungkan kuadrat yang tersisa, kita dapat menggunakan metode AC:

Temukan sepasang faktor #AC = 3 * 35 = 105 # dengan jumlah # B = 22 #

Pasangan #15, 7# bekerja.

Gunakan pasangan ini untuk membagi jangka menengah kemudian faktor dengan mengelompokkan:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (white) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (white) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Jadi dua nol lainnya adalah:

# x = 7/3 "" # dan # "" x = 5 #