(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Ayo kita lakukan ???

Menjawab:

#a = 1, b = 1 #

Penjelasan:

Memecahkan cara tradisional

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Sekarang solusinya #Sebuah#

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # tapi #Sebuah# harus nyata sehingga kondisinya

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # atau # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

sekarang menggantikan dan memecahkan #Sebuah#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # dan solusinya adalah

#a = 1, b = 1 #

Cara lain untuk melakukan hal yang sama

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

tapi

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

dan menyimpulkan

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Menjawab:

D. Hanya ada satu pasangan solusi # (a, b) = (1, 1) #

Penjelasan:

Diberikan:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Perhatikan bahwa kita dapat menjadikan ini masalah homogen simetris yang bagus dengan menggeneralisasi ke:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

lalu atur # c = 1 # pada akhirnya.

Memperluas kedua sisi dari masalah umum ini, kami memiliki:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Mengurangkan sisi kiri dari kedua sisi, kita dapatkan:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (white) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (white) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Untuk nilai nyata #Sebuah#, # b # dan # c #, ini hanya bisa menampung jika semuanya # (a-b) #, # (b-c) # dan # (c-a) # nol dan karenanya:

#a = b = c #

Lalu menempatkan # c = 1 # kami menemukan satu-satunya solusi untuk masalah asli, yaitu # (a, b) = (1, 1) #