Bagaimana Anda menemukan Batas (ln x) ^ (1 / x) ketika x mendekati tak terhingga?

Menjawab:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Penjelasan:

Kami mulai dengan trik yang cukup umum ketika berhadapan dengan eksponen variabel. Kita dapat mengambil log natural dari sesuatu dan kemudian menaikkannya sebagai eksponen dari fungsi eksponensial tanpa mengubah nilainya karena ini adalah operasi terbalik - tetapi memungkinkan kita untuk menggunakan aturan log dengan cara yang menguntungkan.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Menggunakan aturan log eksponen:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Perhatikan bahwa eksponen yang bervariasi sebagai # xrarroo # jadi kita bisa fokus padanya dan memindahkan fungsi eksponensial ke luar:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Jika Anda melihat perilaku fungsi log natural, Anda akan melihat bahwa x cenderung tak terhingga, nilai fungsi juga cenderung tak terbatas, meskipun sangat lambat. Saat kita ambil #ln (ln (x)) # kami memiliki variabel di dalam fungsi log yang cenderung tak terhingga sangat lambat, artinya kami memiliki fungsi keseluruhan yang cenderung tak terhingga SANGAT lambat. Grafik di bawah ini hanya berkisar hingga # x = 1000 # tetapi ini menunjukkan pertumbuhan yang sangat lambat #ln (ln (x)) # bahkan dibandingkan dengan pertumbuhan yang lambat #ln (x) #.

Dari perilaku ini, kita dapat menyimpulkan itu # x # akan menunjukkan pertumbuhan asimptotik yang jauh lebih cepat dan bahwa batas eksponen akan menjadi nol. #color (blue) ("Ini berarti bahwa batas keseluruhan = 1.") #

Kita juga bisa mengatasi hal ini dengan aturan L'hopital. Kita perlu batas berada dalam bentuk tak tentu, yaitu # 0/0 atau oo / oo # jadi kami memeriksa apakah ini masalahnya:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Ini memang benar jadi batasnya menjadi:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Untuk membedakan #y = ln (ln (x)) # mengakui kita miliki #y (u (x)) # dan gunakan aturan rantai

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) menyiratkan (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) menyiratkan (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivatif dari # x # aku s #1#. Batas menjadi:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) # #

Kami telah membahas bahwa kedua fungsi pada penyebut cenderung tidak terbatas sehingga kami miliki

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #