Bagaimana Anda menemukan batas (arctan (x)) / (5x) ketika x mendekati 0?

Menjawab:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Penjelasan:

Untuk menemukan batas ini, perhatikan bahwa pembilang dan penyebut pergi ke #0# sebagai # x # pendekatan #0#. Ini berarti bahwa kami akan mendapatkan formulir yang tidak ditentukan, sehingga kami dapat menerapkan aturan L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Dengan menerapkan aturan L'Hospital, kami mengambil turunan dari pembilang dan penyebut, memberi kami

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Kita juga bisa memeriksanya dengan membuat grafik fungsi, untuk mendapatkan gambaran apa # x # pendekatan.

Grafik dari #arctan x / (5x) #:

grafik {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Menjawab:

Pendekatan yang lebih panjang menggunakan trigonometri dijelaskan di bawah ini.

Penjelasan:

Untuk berjaga-jaga jika Anda tidak nyaman dengan Peraturan L'Hopital, atau belum pernah mengalaminya, pendekatan lain untuk memecahkan masalah melibatkan penggunaan definisi fungsi arctangent.

Ingat bahwa jika # tantheta = x #, kemudian # theta = arctanx #; ini pada dasarnya berarti bahwa arctangent adalah kebalikan dari garis singgung. Dengan menggunakan info ini, kita dapat membuat segitiga di mana # tantheta = x # dan # theta = arctanx #:

Dari diagram, jelas itu # tantheta = x / 1 = x #. Sejak # tantheta = sintheta / costheta #, kami dapat menyatakan ini sebagai:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Menggunakan ini ditambah fakta itu # theta = arctanx #, kita dapat melakukan penggantian dalam batas:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Ini setara dengan:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Kami tahu itu #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; begitu #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # atau #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. Dan sejak itu # cos0 = 1 #, batas tersebut dievaluasi untuk:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#