Apa domain & rentang fungsi: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Menjawab:

Domainnya adalah # (- oo, oo) # dan jangkauannya #0, 1/2#

Penjelasan:

Diberikan:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Perhatikan bahwa untuk setiap nilai nyata # x #, penyebutnya # 1 + x ^ 4 # tidak nol.

Karenanya #f (x) # didefinisikan dengan baik untuk setiap nilai nyata # x # dan domainnya adalah # (- oo, oo) #.

Untuk menentukan rentang, biarkan:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Kalikan kedua ujungnya dengan # 1 + x ^ 4 # mendapatkan:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

Mengurangkan # x ^ 2 # dari kedua sisi, kita dapat menulis ulang ini sebagai:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

Ini hanya akan memiliki solusi nyata jika diskriminannya tidak negatif. Puting # a = y #, # b = -1 # dan # c = y #, yang diskriminan #Delta# diberikan oleh:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

Jadi kami membutuhkan:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Karenanya:

# y ^ 2 <= 1/4 #

Begitu # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

Selain itu perhatikan itu #f (x)> = 0 # untuk semua nilai nyata # x #.

Karenanya # 0 <= y <= 1/2 #

Jadi kisaran #f (x) # aku s #0, 1/2#