Apa metode tercepat dan termudah untuk menyelesaikan persamaan kubik dan kuartik (tanpa kalkulator polinomial)?

Menjawab:

Tergantung…

Penjelasan:

Jika kubik atau kuartik (atau tingkat polinomial apa pun dalam hal ini) memiliki akar rasional, maka teorema akar rasional mungkin merupakan cara tercepat untuk menemukannya.

Rule of Signs of Descartes juga dapat membantu mengidentifikasi apakah persamaan polinom memiliki akar positif atau negatif, sehingga membantu mempersempit pencarian.

Untuk persamaan kubik, mungkin berguna untuk mengevaluasi diskriminan:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Jika #Delta = 0 # maka kubik memiliki akar berulang.

• Jika #Delta <0 # maka kubik memiliki satu akar nyata dan dua akar kompleks tidak nyata.

• Jika #Delta> 0 # maka kubik memiliki tiga akar nyata.

Jika #Delta = 0 # maka kubik berbagi faktor dengan turunannya, jadi Anda harus dapat menemukan faktor bersama dengan menghitung GCF polinomial.

Kalau tidak, mungkin berguna untuk menggunakan transformasi Tschirnhaus untuk mendapatkan a kubik tertekan tanpa istilah kuadrat sebelum melanjutkan lebih jauh.

Jika kubik memiliki satu akar nyata dan dua yang tidak nyata, maka saya akan merekomendasikan metode Cardano.

Jika memiliki tiga akar nyata maka saya akan merekomendasikan menggunakan substitusi trigonometri sebagai gantinya.

Untuk kuartik, Anda bisa mendapatkan kuartik tertekan tanpa istilah kubus dengan substitusi seperti #t = x + b / (4a) #.

Jika kuartik yang dihasilkan juga tidak memiliki istilah linier maka itu adalah kuadrat dalam # x ^ 2 #. Anda bisa menyelesaikannya sebagai kuadratik dan mengambil akar kuadrat, atau menggunakan factorisation dari formulir:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Dari sini Anda dapat menemukan faktor kuadrat untuk dipecahkan.

Jika kuartik yang dihasilkan memang memiliki istilah linear, maka dapat difaktorkan dalam bentuk:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Menyamakan koefisien dan menggunakan # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, Anda bisa mendapatkan kubik # a ^ 2 #. Karenanya Anda dapat menemukan nilai yang mungkin untuk #Sebuah#, # b # dan # c #. Kemudian temukan nol dari faktor kuadratik.

Ada kasus-kasus khusus lainnya, tetapi kira-kira menutupinya.