Menjawab:
Lihat penjelasan …
Penjelasan:
Membiarkan #t = a_ (cf) (x; b) #
Kemudian:
#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …))))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #
Dengan kata lain, # t # adalah titik tetap dari pemetaan:
#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #
Perhatikan bahwa dengan sendirinya, # t # menjadi titik tetap dari #F (t) # tidak cukup untuk membuktikan itu #t = a_ (cf) (x; b) #. Mungkin ada titik tetap yang tidak stabil dan stabil.
Sebagai contoh, #2016^(1/2016)# adalah titik tetap dari #x -> x ^ x #, tetapi bukan solusi # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …)))) = 2016 # (Tidak ada solusi).
Namun, mari kita pertimbangkan #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # dan #t = 1.880789470 #
Kemudian:
#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #
# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #
# = e ^ 0.6316916199 #
# ~~ 1.880789471 ~~ t #
Jadi ini nilai # t # sangat dekat dengan titik tetap #F_ (a, b, x) #
Untuk membuktikan bahwa itu stabil, pertimbangkan turunannya dekat # t #.
# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #
Jadi kami menemukan:
#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0,5316916199 #
Karena ini negatif dan bernilai absolut kurang dari #1#, titik tetap di # t # stabil.
Perhatikan juga bahwa untuk setiap nilai riil non-nol # s # kita punya:
#F '_ (e, 1,0.1) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #
Itu adalah #F_ (e, 1,0.1) # secara ketat menurun secara monoton.
Karenanya # t # adalah titik tetap stabil yang unik.
Menjawab:
Perilaku kontraktif.
Penjelasan:
Dengan #a = e # dan #x = x_0 # iterasi mengikuti sebagai
#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # dan juga
#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #
Mari kita selidiki kondisi untuk kontraksi pada operator iterasi.
Mengurangi kedua sisi
#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #
tetapi dalam perkiraan pertama
# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #
atau
# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} approx -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #
Untuk memiliki kontraksi kita perlu
#ab (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #
Ini tercapai jika
#ab (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Seandainya #b> 0 # dan #k = 1 # kita punya.
# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #
Jadi diberikan # x_0 # dan # b # hubungan ini memungkinkan kami untuk menemukan iterasi awal di bawah perilaku kontraktif.
