X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 memiliki satu root x = sqrt (2) + sqrt (3). Apa tiga akar lainnya dan mengapa?

Menjawab:

Tiga akar lainnya adalah #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # dan #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Mengenai alasannya, izinkan saya menceritakan sebuah kisah …

Penjelasan:

Tn Rational tinggal di kota Aljabar.

Dia tahu semua nomor formulir #M N# dimana # m # dan # n # adalah bilangan bulat dan #n! = 0 #.

Dia cukup senang memecahkan polinomial seperti # 3x + 8 = 0 # dan # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, tapi ada banyak yang membingungkannya.

Bahkan polinomial yang tampaknya sederhana # x ^ 2-2 = 0 # tampaknya tidak terpecahkan.

Tetangganya yang kaya, Tuan Real, kasihan padanya. "Yang Anda butuhkan adalah apa yang disebut sebagai akar kuadrat dari #2#. Ini dia. ". Dengan kata-kata ini, Tuan Real menyerahkan nomor biru misterius yang disebut # R_2 # untuk Tuan Rasional. Yang dia tahu tentang nomor ini adalah itu # R_2 ^ 2 = 2 #.

Mr Rational kembali ke ruang kerjanya dan bermain dengan misterius ini # R_2 #.

Setelah beberapa saat dia menemukan bahwa dia dapat menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi jumlah formulir # a + b R_2 # dimana #Sebuah# dan # b # rasional dan berakhir dengan angka dalam bentuk yang sama. Dia juga memperhatikan itu # x ^ 2-2 = 0 # memiliki solusi lain, yaitu # -R_2 #.

Dia sekarang mampu menyelesaikan tidak hanya # x ^ 2-2 = 0 #tapi # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # dan banyak lagi.

Banyak polinomial lain masih menghindari solusi. Sebagai contoh, # x ^ 2-3 = 0 #, tapi Tuan Real dengan senang hati memberinya nomor hijau mengkilap yang dipanggil # R_3 # yang memecahkan itu.

Mr Rational segera menemukan bahwa dia dapat mengungkapkan semua angka yang dapat dia jadikan sebagai # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #dimana #Sebuah#, # b #, # c # dan # d # rasional.

Suatu hari Tuan Rational melakukan pemecahan # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Dia menemukan itu # x = R_2 + R_3 # adalah solusinya.

Sebelum mencari solusi lebih lanjut, ia menabrak tetangganya, Tuan Real. Dia berterima kasih kepada Tuan Real atas pemberian # R_2 # dan # R_3 #, tetapi memiliki pertanyaan tentang mereka. "Saya lupa bertanya:", katanya, "Apakah mereka positif atau negatif?". "Saya pikir Anda tidak akan peduli," kata Tuan Real. "Selama kamu memecahkan polinomial dengan koefisien rasional, itu tidak masalah. Aturan yang kamu temukan untuk menambah, mengurangi, mengalikan dan membagi angka baru kamu bekerja dengan baik dengan baik. Sebenarnya, kupikir yang kamu bernama # R_2 # adalah apa yang disebut kebanyakan orang # -sqrt (2) # dan yang Anda panggil # R_3 # adalah apa yang disebut kebanyakan orang #sqrt (3) #'.

Jadi untuk nomor baru Mr Rational formulir # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # tidak masalah apakah # R_2 # dan / atau # R_3 # positif atau negatif dari sudut pandang pemecahan polinomial dengan koefisien rasional.