Pertanyaan # 90cf3 + Contoh

Menjawab:

Untuk menemukan akar persamaan suka # e ^ x = x ^ 3 #, Saya sarankan Anda menggunakan metode analisis numerik rekursif, yang disebut Metode Newton

Penjelasan:

Mari kita lakukan sebuah contoh.

Untuk menggunakan metode Newton, Anda menulis persamaan dalam formulir #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Menghitung #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Karena metode ini mengharuskan kami melakukan perhitungan yang sama berkali-kali, hingga konvergen, saya sarankan Anda menggunakan spreadsheet Excel; sisa jawaban saya akan berisi instruksi tentang cara melakukan ini.

Masukkan tebakan yang baik untuk x ke sel A1. Untuk persamaan ini, saya akan memasukkan 2.

Masukkan yang berikut ini ke sel A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Harap perhatikan bahwa di atas adalah bahasa spreadsheet Excel untuk

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Salin konten sel A2 ke A3 hingga A10. Setelah hanya 3 atau 4 rekursi, Anda dapat melihat bahwa metode telah konvergen

#x = 1.857184 #

Menjawab:

Kita dapat menggunakan Teorema Nilai Menengah untuk melihat bahwa setiap pasangan memiliki setidaknya satu titik persimpangan.

Penjelasan:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # kontinu pada seluruh garis nyata.

Di # x = 0 #, kita punya #f (0) = 1 #.

Di # x = -1 #, kita punya #f (-1) = 1 / e-1 # yang negatif.

# f # terus menerus #-1,0#, jadi setidaknya ada satu # c # di #(-1,0)# dengan #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # kontinu pada seluruh garis nyata.

Di # x = 0 #, kita punya #g (0) = 1 #.

Di # x = 2 #, kita punya #g (2) = e ^ 2-8 # yang negatif.

(Catat itu # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# g # terus menerus #0,2#, jadi setidaknya ada satu # c # di #(0,2)# dengan #g (c) = 0 #.