Bagaimana cara menggunakan tes turunan pertama untuk menentukan ekstrema lokal y = sin x cos x?

Menjawab:

Ekstra untuk # y = sin (x) cos (x) # adalah

# x = pi / 4 + npi / 2 #

dengan # n # bilangan bulat relatif

Penjelasan:

Menjadi #f (x) # fungsi yang mewakili variasi # y # dengan repsect to # x #.

Menjadi #f '(x) # turunan dari #f (x) #.

#f '(a) # adalah kemiringan #f (x) # kurva pada # x = a # titik.

Ketika kemiringan positif, kurva meningkat.

Ketika kemiringan negatif, kurva menurun.

Ketika kemiringan nol, kurva tetap pada nilai yang sama.

Ketika kurva mencapai ekstrem, itu akan berhenti meningkat / menurun dan mulai menurun / meningkat. Dengan kata lain, kemiringan akan berubah dari positif ke negatif -atau negatif ke positif- lewat dengan nilai nol.

Oleh karena itu, jika Anda mencari ekstrema fungsi, Anda harus mencari nilai nol turunannya.

N.B. Ada situasi ketika turunannya nol tetapi kurva tidak mencapai ekstrem: itu disebut titik belok. kurva sebentar akan berhenti meningkat / menurun dan kemudian melanjutkan kenaikan / penurunannya. Jadi, Anda juga harus memeriksa apakah tanda kemiringan berubah di sekitar nilai nolnya.

Contoh: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Sekarang kita memiliki formula untuk #f '(x) #, kami akan mencari nilai nolnya:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Solusinya adalah # pi / 4 + npi / 2 # dengan # n # bilangan bulat relatif.

Menjawab:

Bahkan jika kita berencana untuk menggunakan tes turunan pertama, layak untuk diamati #y = 1/2 sin (2x) #.

Penjelasan:

Setelah melakukan pengamatan itu, kita tidak benar-benar membutuhkan kalkulus untuk menemukan ekstrema.

Kita bisa mengandalkan pengetahuan kita tentang trigonometri dan grafik fungsi sinusoidal

Nilai maksimum (dari 1/2) akan terjadi ketika # 2x = pi / 2 + 2pik # atau kapan #x = pi / 4 + pik # untuk # k # bilangan bulat.

Minimum terjadi pada #x = 3pi / 4 + pik # untuk # k # bilangan bulat.

Kita dapat menggunakan turunannya, tetapi kita tidak benar-benar membutuhkannya.

Menggunakan Derivatif

Setelah ditulis ulang # y #, kita bisa dengan cepat melihatnya #y '= cos (2x) #

Jadi angka kritis untuk # y # adalah # 2x = pi / 2 + 2pik # dan # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (ketika kosinus adalah #0#) atau

# x = pi / 4 + pik # dan # x = (3pi) / 4 + pik #

Memeriksa tanda #y '= cos (2x) #, kita akan menemukan nilai maksimum pada set pertama angka kritis dan nilai minimum pada set kedua.