S = (a (r ^ n -1)) / (r-1) Menjadikan 'r' rumus subjek ..?

Menjawab:

Ini umumnya tidak mungkin …

Penjelasan:

Diberikan:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

Idealnya kami ingin memperoleh formula seperti:

#r = "beberapa ekspresi dalam" s, n, a #

Ini tidak akan mungkin untuk semua nilai # n #. Misalnya kapan # n = 1 # kita punya:

#s = (a (r ^ color (biru) (1) -1)) / (r-1) = a #

Kemudian # r # dapat mengambil nilai apa pun dari #1#.

Juga, perhatikan bahwa jika # a = 0 # kemudian # s = 0 # dan lagi # r # dapat mengambil nilai apa pun dari #1#.

Mari kita lihat seberapa jauh kita bisa secara umum:

Pertama kalikan kedua sisi persamaan yang diberikan oleh # (r-1) # mendapatkan:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

Mengalikan kedua sisi, ini menjadi:

# sr-s = ar ^ n-a #

Kemudian kurangi sisi kiri dari kedua sisi, kita dapatkan:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

Asumsi #a! = 0 #, kita dapat membaginya dengan #Sebuah# untuk mendapatkan persamaan polinomial monik:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0 #

Perhatikan bahwa untuk nilai apa pun dari #sebagai# dan # n # salah satu akar polinomial ini adalah # r = 1 #, tapi itu nilai yang dikecualikan.

Mari kita coba faktor # (r-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (white) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#color (white) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a) #

Jadi membelah dengan # (r-1) # kita mendapatkan:

# r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

Solusi dari ini akan mengambil bentuk yang sangat berbeda untuk nilai yang berbeda # n #. Pada saat #n> = 6 #, umumnya tidak dapat dipecahkan oleh radikal.