Apa pentingnya derivatif parsial? Berikan contoh dan bantu saya untuk memahami secara singkat.

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Saya harap ini membantu.

Derivatif parsial secara intrinsik terkait dengan variasi total.

Misalkan kita memiliki fungsi #f (x, y) # dan kami ingin tahu seberapa bervariasi ketika kami memperkenalkan kenaikan untuk setiap variabel.

Memperbaiki ide, membuat #f (x, y) = k x y # kami ingin tahu berapa harganya

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

Dalam fungsi-contoh yang kita miliki

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

lalu

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Memilih #dx, dy # Kecil sewenang-wenang #dx dy kira-kira 0 # lalu

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

tetapi umumnya

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

sekarang membuat #dx, dy # sewenang-wenang kecil yang kita miliki

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

jadi kita dapat menghitung variasi total untuk fungsi yang diberikan, dengan menghitung turunan parsial #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # dan peracikan

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Di sini, jumlahnya #f_ (x_i) # disebut turunan parsial dan juga dapat direpresentasikan sebagai

# (sebagian f) / (sebagian x_i) #

Dalam contoh kita

#f_x = (sebagian f) / (sebagian x) = k x # dan

#f_y = (sebagian f) / (sebagian y) = k y #

CATATAN

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Untuk melengkapi jawaban Cesareo di atas, saya akan memberikan definisi pengantar yang kurang matematis.

Derivatif parsial, secara longgar, memberi tahu kita seberapa banyak fungsi multi-variabel akan berubah saat memegang variabel lain konstan. Misalnya, anggaplah kita diberikan

#U (A, t) = A ^ 2t #

Dimana # U # adalah fungsi utilitas (kebahagiaan) dari produk tertentu, #SEBUAH# adalah jumlah produk, dan # t # adalah waktu produk digunakan.

Misalkan perusahaan yang memproduksi produk ingin mengetahui berapa banyak utilitas yang bisa mereka dapatkan jika mereka menambah masa pakai produk sebanyak 1 unit. Derivatif parsial akan memberi tahu perusahaan nilai ini.

Derivatif parsial umumnya dilambangkan dengan huruf kecil delta Yunani (#sebagian#), tetapi ada beberapa notasi lainnya. Kami akan menggunakan #sebagian# untuk sekarang.

Jika kami mencoba menemukan seberapa besar utilitas produk berubah dengan peningkatan waktu 1 unit, kami menghitung turunan sebagian utilitas terkait dengan waktu:

# (partialU) / (partialt) #

Untuk menghitung PD, kami memegang variabel lain konstan. Dalam hal ini, kami memperlakukan # A ^ 2 #, variabel lainnya, seolah-olah itu angka. Ingat dari kalkulus pengantar bahwa turunan dari konstanta kali variabel hanyalah konstanta. Ini ide yang sama di sini: turunan (sebagian) dari # A ^ 2 #, konstan, kali # t #, variabelnya, hanyalah konstanta:

# (partialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Dengan demikian, peningkatan 1 unit dalam waktu produk digunakan menghasilkan # A ^ 2 # lebih banyak utilitas. Dengan kata lain, produk menjadi lebih memuaskan jika dapat digunakan lebih sering.

Ada banyak, banyak lagi yang bisa dikatakan tentang turunan parsial - pada kenyataannya, seluruh program sarjana dan pascasarjana dapat dikhususkan untuk memecahkan hanya beberapa jenis persamaan yang melibatkan turunan parsial - tetapi ide dasarnya adalah bahwa turunan parsial memberi tahu kita berapa banyak satu variabel berubah ketika yang lain tetap sama.