Apakah bilangan real sqrt21, bilangan rasional, bilangan bulat, bilangan bulat, bilangan irasional?

Menjawab:

Ini adalah bilangan irasional dan karenanya nyata.

Penjelasan:

Mari kita buktikan dulu #sqrt (21) # adalah bilangan real, pada kenyataannya, akar kuadrat dari semua bilangan real positif adalah nyata. Jika # x # adalah bilangan real, maka kita tentukan untuk bilangan positif #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Ini berarti bahwa kita melihat semua bilangan real # y # seperti yang # y ^ 2 <= x # dan ambil bilangan real terkecil yang lebih besar dari semua ini # y #Itu, yang disebut supremum. Untuk angka negatif, ini # y #Tidak ada, karena untuk semua bilangan real, mengambil kuadrat dari angka ini menghasilkan angka positif, dan semua angka positif lebih besar dari angka negatif.

Untuk semua angka positif, selalu ada beberapa # y # yang sesuai dengan kondisinya # y ^ 2 <= x #yaitu #0#. Selanjutnya, ada batas atas angka-angka ini, yaitu # x + 1 #, karena jika # 0 <= y <1 #, kemudian # x + 1> y #, jika #y> = 1 #, kemudian #y <= y ^ 2 <= x #jadi # x + 1> y #. Kita dapat menunjukkan bahwa untuk setiap set bilangan real yang tidak kosong, selalu ada bilangan real unik yang bertindak sebagai supremum, karena yang disebut sebagai kelengkapan dari # RR #. Jadi untuk semua bilangan real positif # x # ada yang nyata #sqrt (x) #. Kami juga dapat menunjukkan itu dalam kasus ini #sqrt (x) ^ 2 = x #, tetapi kecuali Anda menginginkannya, saya tidak akan membuktikannya di sini. Terakhir kita perhatikan itu #sqrt (x)> = 0 #, sejak #0# adalah nomor yang sesuai dengan kondisi, seperti yang dinyatakan sebelumnya.

Sekarang untuk irasionalitas #sqrt (21) #. Jika tidak irasional (rasional), kita dapat menuliskannya sebagai #sqrt (21) = a / b # dengan #Sebuah# dan # b # bilangan bulat dan # a / b # disederhanakan sebanyak mungkin, artinya #Sebuah# dan # b # tidak memiliki pembagi umum, kecuali untuk #1#. Ini artinya # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Sekarang kita menggunakan sesuatu yang disebut faktorisasi bilangan prima. Ini berarti kita dapat menuliskan setiap bilangan positif sebagai produk unik bilangan prima. Untuk #21# ini adalah #3*7# dan untuk #Sebuah# dan # b # ini adalah beberapa produk bilangan prima yang sewenang-wenang # a = a_1 * … * a_n # dan # b = b_1 * … * b_m #. Fakta bahwa satu-satunya pembagi umum #Sebuah# dan # b # aku s #1# setara dengan kenyataan itu #Sebuah# dan # b # tidak berbagi bilangan prima dalam faktorisasi mereka, jadi ada # a_i # dan # b_j # seperti yang # a_i = b_j #. Ini artinya # a ^ 2 # dan # b ^ 2 # juga tidak membagikan bilangan prima, karena # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # dan # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #, oleh karena itu satu-satunya pembagi umum dari # a ^ 2 # dan # b ^ 2 # aku s #1#. Sejak # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, ini berarti # b ^ 2 = 1 #jadi # b = 1 #. Karena itu #sqrt (21) = a #. Perhatikan bahwa ini hanya berlaku dengan asumsi itu #sqrt (21) # rasional.

Sekarang kita tentu saja dapat menjalankan semua angka positif keseluruhan lebih kecil dari #21# dan periksa apakah mengkuadratkan mereka memberi #21#, tapi ini metode yang membosankan. Untuk melakukannya dengan cara yang lebih menarik, kita kembali ke bilangan prima kita. Kami tahu itu # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # dan #21=3*7#jadi # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. Di sisi kiri, setiap prime hanya terjadi sekali, di sebelah kanan, setiap prime muncul setidaknya dua kali, dan selalu dalam jumlah genap (jika # a_1 = a_n # itu akan untuk instace terjadi setidaknya empat kali). Tetapi seperti yang telah kami nyatakan, faktorisasi utama ini unik, jadi ini tidak mungkin benar. Karena itu # 21nea ^ 2 #jadi #anesqrt (21) #, artinya asumsi awal kami tentang #sqrt (21) # menjadi rasional ternyata salah #sqrt (21) # tidak rasional.

Perhatikan bahwa argumen yang sama berlaku untuk semua angka positif # x # dengan faktorisasi prima di mana salah satu bilangan prima muncul dalam jumlah yang tidak merata, karena kuadrat dari bilangan bulat selalu memiliki semua faktor prima yang muncul dalam jumlah yang genap. Dari sini kami menyimpulkan bahwa jika # x # adalah bilangan bulat positif (#x inNN #) memiliki faktor utama yang terjadi hanya dalam jumlah yang tidak merata, #sqrt (x) # akan tidak rasional.

Saya sadar bahwa bukti ini mungkin tampak agak lama, tetapi menggunakan konsep-konsep penting dari matematika. Mungkin dalam kurikulum sekolah menengah mana pun, pertimbangan semacam ini tidak termasuk (saya tidak 100% yakin, saya tidak tahu kurikulum dari setiap sekolah menengah di dunia), tetapi untuk matematikawan yang sebenarnya, membuktikan barang adalah salah satu kegiatan paling penting yang mereka lakukan. Oleh karena itu saya ingin menunjukkan kepada Anda apa jenis matematika di balik mengambil akar kuadrat hal. Apa yang perlu Anda ambil dari ini, itu memang #sqrt (21) # adalah bilangan irasional.