Apa solusi umum persamaan diferensial y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Persamaan karakteristik adalah:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "ATAU" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

disk "dari quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "jadi kami memiliki dua solusi kompleks," #

#z = (1 siang sqrt (15) i) / 2 #

# "Jadi solusi umum dari persamaan homogen adalah:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Solusi khusus untuk persamaan lengkap adalah" #

# "y = x," #

# "Itu mudah dilihat." #

# "Jadi solusi lengkapnya adalah:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Menjawab:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Penjelasan:

Kita punya:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Atau, Atau:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. SEBUAH

Ini adalah sebuah ketiga memesan Persamaan Diferensiasi Non-Homogen linear dengan koefisien konstan. Pendekatan standar adalah menemukan solusi, # y_c # persamaan homogen dengan melihat pada Auxiliary Equation, yang merupakan persamaan polinomial dengan koefisien turunan., dan kemudian menemukan solusi khusus yang independen, # y_p # persamaan non-homogen.

Akar dari persamaan pembantu menentukan bagian dari solusi, yang jika linear bebas maka superposisi dari solusi membentuk solusi umum penuh.

• Akar berbeda nyata # m = alpha, beta, … # akan menghasilkan solusi bebas linear dari formulir # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Jadilah ^ (betax) #, …
• Akar berulang yang nyata # m = alpha #, akan menghasilkan solusi bentuk # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # di mana polinomial memiliki tingkat yang sama dengan pengulangan.
• Akar kompleks (yang harus muncul sebagai pasangan konjugat) # m = p + -qi # akan menghasilkan pasangan solusi bebas linear dari formulir # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Solusi Khusus

Untuk menemukan solusi khusus dari persamaan non-homogen:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # dengan #f (x) = 4 # ….. C

kemudian sebagai #f (x) # adalah polinomial derajat #0#, kami akan mencari solusi polinomial dengan derajat yang sama, yaitu formulir #y = a #

Namun, solusi seperti itu sudah ada dalam solusi CF dan karenanya harus mempertimbangkan solusi potensial dari formulir # y = kapak #, Dimana konstanta #Sebuah# ditentukan dengan substitusi langsung dan perbandingan:

Membedakan # y = kapak # wrt # x # kita mendapatkan:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Mengganti hasil ini ke DE A kita dapatkan:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

Dan jadi kami membentuk solusi khusus:

# y_p = x #

Solusi Umum

Yang kemudian mengarah ke GS dari A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Perhatikan solusi ini #3# konstanta integrasi dan #3# solusi independen linear, maka oleh Teorema Keberadaan dan Keunikan superposisi mereka adalah Solusi Umum