Tolong bantu. Saya tidak yakin bagaimana melakukan ini dengan cepat tanpa mengalikan semuanya?

Menjawab:

Jawabannya (saya) aku s #240#.

Jawabannya (ii) aku s #200#.

Penjelasan:

Kita dapat melakukan ini dengan menggunakan Segitiga Pascal, yang ditunjukkan di bawah ini.

(saya)

Karena eksponen adalah #6#, kita perlu menggunakan baris keenam dalam segitiga, yang meliputi #warna (ungu) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # dan #warna (ungu) 1 #. Pada dasarnya, kita akan gunakan #warna (biru) 1 # sebagai istilah pertama dan #warna (merah) (2x) # sebagai yang kedua. Kemudian, kita dapat membuat persamaan berikut. Eksponen term pertama meningkat sebesar #1# setiap kali dan eksponen dari term kedua berkurang sebesar #1# dengan setiap istilah dari segitiga.

# (warna (ungu) 1 * warna (biru) (1 ^ 0) * warna (merah) ((2x) ^ 6)) + (warna (ungu) 6 * warna (biru) (1 ^ 1) * warna (merah) ((2x) ^ 5)) + (warna (ungu) 15 * warna (biru) (1 ^ 2) * warna (merah) ((2x) ^ 4)) + + (warna (ungu) 20 * warna (biru) (1 ^ 3) * warna (merah) ((2x) ^ 3)) + (warna (ungu) 15 * warna (biru) (1 ^ 4) * warna (merah) ((2x) ^ 2)) + (warna (ungu) 6 * warna (biru) (1 ^ 5) * warna (merah) ((2x) ^ 1)) + + (warna (ungu) 1 * warna (biru) (1 ^ 6) * warna (merah) ((2x) ^ 0)) #

Kemudian, kita bisa menyederhanakannya.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Oleh karena itu, koefisien # x ^ 4 # aku s #240#.

(ii)

Kita sudah tahu perluasan # (1 + 2x) ^ 6 #. Sekarang, kita dapat melipatgandakan dua ekspresi bersama.

#color (brown) (1-x (1/4)) * warna (oranye) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Koefisien dari # x # di # 1-x (1/4) # aku s #1#. Jadi, kita tahu bahwa itu akan menaikkan nilai eksponen dalam ekspresi lain oleh #1#. Karena kita memerlukan koefisien # x ^ 4 #, kita hanya perlu mengalikan # 160x ^ 3 # oleh # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Sekarang, kita perlu menambahkannya # 240x ^ 4 #. Ini adalah salah satu bagian dari solusi # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, karena penggandaan oleh #1#. Ini penting karena juga memiliki eksponen #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Oleh karena itu, koefisiennya adalah #200#.

Menjawab:

saya. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Penjelasan:

Ekspansi binomial untuk # (a + bx) ^ c # dapat direpresentasikan sebagai:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Untuk bagian 1 kita hanya perlu kapan # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Untuk bagian 2, kita juga memerlukan # x ^ 3 # istilah karena # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #