Mengapa kita tidak dapat mengintegrasikan x ^ x?

Menjawab:

Kami tidak punya aturan untuk itu.

Penjelasan:

Dalam integral, kami memiliki aturan standar. Aturan anti-rantai, aturan anti-produk, aturan anti-daya, dan sebagainya. Tetapi kami tidak memiliki satu untuk fungsi yang memiliki # x # baik di pangkalan dan kekuatan. Kita dapat mengambil turunannya dengan baik, tetapi mencoba untuk mengambil integralnya tidak mungkin karena kurangnya aturan yang akan bekerja dengannya.

Jika Anda membuka Desmos Graphing Calculator, Anda dapat mencoba menyambungkannya

# int_0 ^ x a ^ ada #

dan itu akan membuat grafik dengan baik. Tetapi jika Anda mencoba menggunakan aturan anti-kekuasaan atau aturan anti-eksponen untuk membuat grafik menentangnya, Anda akan melihatnya gagal. Ketika saya mencoba menemukannya (yang masih saya kerjakan), langkah pertama saya adalah melepaskannya dari formulir ini dan ke yang berikut:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Ini pada dasarnya memungkinkan kita untuk menggunakan aturan kalkulus sedikit lebih baik. Tetapi bahkan ketika menggunakan Integrasi oleh Bagian, Anda tidak pernah benar-benar menyingkirkan integral. Karenanya, Anda tidak benar-benar mendapatkan fungsi untuk menentukannya.

Tetapi seperti biasa dalam Matematika, menyenangkan untuk bereksperimen.Jadi silakan dan coba, tetapi tidak terlalu lama atau keras, Anda akan tersedot ke dalam lubang kelinci ini.

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

#y = x ^ x # dapat diintegrasikan. Contohnya

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

Hal lain adalah memiliki sekarang hari, suatu fungsi #f (x) # yang mewakili dalam bentuk tertutup, primitif untuk # x ^ x # atau dengan kata lain, seperti itu

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Jika ini adalah fungsi yang umum digunakan dalam masalah teknis-ilmiah, tentunya kita akan menemukan nama dan simbol yang berbeda untuk memanipulasinya. Seperti fungsi Lambert didefinisikan sebagai

#W (x) = x e ^ x #

Menjawab:

Silahkan lihat di bawah ini.

Penjelasan:

Seperti yang telah ditunjukkan Cesareo (tanpa mengatakan), ada beberapa ambiguitas dalam "kita tidak dapat berintegrasi".

Fungsinya #f (x) = x ^ x # terus menerus # (0, oo) #

dan terus # 0, oo) # jika kita membuat #f (0) = 1 #, jadi mari kita lakukan itu. Oleh karena itu, integral yang pasti

# int_a ^ b x ^ x dx # memang ada untuk semua # 0 <= a <= b #

Selanjutnya, teorema dasar calulus memberi tahu kita bahwa fungsinya # int_0 ^ xt ^ t dt # memiliki turunan # x ^ x # untuk #x> = 0 #

Yang tidak bisa kita lakukan adalah mengekspresikan fungsi ini dalam bentuk ekspresi aljabar yang bagus, terbatas, dan tertutup (atau bahkan tahu fungsi transendental).

Ada banyak hal dalam matematika yang tidak bisa diungkapkan kecuali dalam bentuk yang memungkinkan perkiraan yang lebih baik secara berturut-turut.

Sebagai contoh:

Nomor yang kotaknya #2# tidak dapat diekspresikan dalam bentuk desimal atau fraksional menggunakan ekspresi terbatas. Jadi kami memberinya simbol, # sqrt2 # dan perkiraan ke tingkat akurasi yang diinginkan.

Rasio keliling dengan diameter lingkaran tidak dapat diekspresikan secara halus menggunakan kombinasi aljabar terbatas dari bilangan bulat, jadi kami beri nama, # pi # dan perkiraan ke tingkat akurasi yang diinginkan.

Solusi untuk # x = cosx # juga dapat didekati dengan tingkat akurasi yang diinginkan, tetapi tidak dapat diekspresikan secara halus. Jumlah ini (mungkin) tidak cukup penting untuk diberi nama.

Seperti yang dikatakan Cesareo, jika integral dari # x ^ x # punya banyak aplikasi, matematikawan akan mengadopsi nama untuk itu.

Tetapi perhitungan masih akan membutuhkan perkiraan yang tak terbatas.