Pertanyaan # 92256

Menjawab:

Lihat penjelasannya

Penjelasan:

Pisahkan ini menjadi dua bagian, pertama bagian dalam:

# e ^ x #

Ini positif dan meningkat untuk semua bilangan real dan bergerak dari 0 hingga # oo # sebagai # x # pergi dari # -oo # untuk # oo #

Yang kami miliki:

#arctan (u) #

Memiliki asymptote horizontal kanan di # y = pi / 2 #. Pergi dari # u = 0 rarr oo #pada # u = 0 # fungsi ini positif dan meningkat dari domain ini, mengambil nilai 0 at # u = 0 #, nilai # pi / 4 # di # u = 1 # dan nilai # pi / 2 # di # u = oo #.

Poin-poin ini karenanya tertarik # x = -oo, 0, oo # masing-masing dan kami berakhir dengan grafik yang tampak seperti ini sebagai hasilnya:

grafik {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Yang merupakan bagian positif dari # arctan # fungsi meregangkan seluruh garis nyata dengan nilai kiri direntangkan menjadi asimtot horizontal di # y = 0 #.

Menjawab:

Lihat penjelasannya

Penjelasan:

Domain aku s # RR #

Simetri

Baik sehubungan dengan # x # sumbu atau w.r.t asalnya.

#arctan (e ^ (- x)) # tidak disederhanakan #arctan (e ^ x) #

juga tidak # -arctan (e ^ x) #

Penyadapan

# x # memotong: tidak ada

Kita tidak bisa mendapatkannya #y = 0 # karena itu akan membutuhkan # e ^ x = 0 #

Tapi # e ^ x # tidak pernah #0#, itu hanya mendekati #0# sebagai # xrarr-oo #.

Begitu, # yrarr0 # sebagai # xrarr-oo # dan # x # sumbu os a horizontal

asymptote di sebelah kiri.

# y # mencegat: # pi / 4 #

Kapan # x = 0 #, kita mendapatkan #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asimptot:

Vertikal: tidak ada

# arctan # adalah antara # -pi / 2 # dan # pi / 2 # menurut definisi, jadi tidak pernah masuk ke # oo #

Horisontal:

Kiri: # y = 0 # seperti yang dibahas di atas

Kanan: # y = pi / 2 #

Kami tahu itu, sebagai # thetararrpi / 2 # dengan #theta <pi / 2 #, kita mendapatkan #tantheta rarr oo #

begitu pula # xrarroo #, kita mendapatkan # e ^ x rarroo #jadi # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Derivatif pertama

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # tidak pernah #0# dan tidak pernah terdefinisi, sehingga tidak ada angka kritis.

Untuk setiap # x # kita punya #y '> 0 # jadi fungsinya meningkat # (- oo, oo) #

Tidak ada tambahan lokal.

Derivatif kedua

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # tidak pernah tidak terdefinisi, dan memang demikian #0# di # x = 0 #

Tanda #y '' #:

Di # (- oo, 0) #, kita mendapatkan # e ^ (2x) <1 # begitu #y ''> 0 # dan grafiknya cekung

Di # (0, oo) #, kita mendapatkan # e ^ (2x)> 1 # begitu #y '' <0 # dan grafiknya cekung ke bawah

Konkavitas berubah pada # x = 0 #, jadi titik belok adalah:

# (0, pi / 4) #

Sekarang buat sketsa grafik