Bagaimana Anda menyelesaikan sistem x ^ 2 + y ^ 2 = 9 dan x-3y = 3?

Menjawab:

Ada dua solusi untuk sistem ini: poin #(3,0)# dan #(-12/5, -9/5)#.

Penjelasan:

Ini adalah sistem persamaan masalah yang menarik karena menghasilkan lebih dari satu solusi per variabel.

Mengapa ini terjadi adalah sesuatu yang dapat kita analisis sekarang. Persamaan pertama, adalah bentuk standar untuk lingkaran dengan jari-jari #3#. Yang kedua adalah persamaan yang sedikit berantakan untuk sebuah baris. Dibersihkan, akan terlihat seperti ini:

#y = 1/3 x - 1 #

Jadi tentu saja jika kita menganggap bahwa solusi untuk sistem ini akan menjadi titik di mana garis dan lingkaran berpotongan, kita seharusnya tidak terkejut mengetahui bahwa akan ada dua solusi. Satu ketika garis memasuki lingkaran, dan satu lagi ketika ia pergi. Lihat grafik ini:

grafik {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Pertama kita mulai dengan memanipulasi persamaan kedua:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3t #

Kita bisa memasukkan ini langsung ke persamaan pertama untuk dipecahkan # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3thn) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Jelas persamaan ini memiliki dua solusi. Untuk satu #y = 0 # dan satu lagi untuk # 9 + 5y = 0 # yang berarti #y = -9 / 5 #.

Sekarang kita bisa menyelesaikannya untuk # x # di masing-masing # y # nilai-nilai.

Jika # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Jika #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Jadi dua solusi kami adalah poinnya: #(3,0)# dan #(-12/5, -9/5)#. Jika Anda melihat kembali ke grafik, Anda dapat melihat bahwa ini jelas terkait dengan dua titik di mana garis melintasi lingkaran.