Bagaimana Anda mengintegrasikan ini? dx (x²-x +1) Saya terjebak di bagian ini (gambar diunggah)

Menjawab:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Penjelasan:

Melakukan …

Membiarkan # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Menggunakan antiderivatif apa yang harus dilakukan pada memori …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Ini adalah integral kecil yang rumit, dan solusinya tidak akan terlihat jelas pada awalnya. Karena ini adalah fraksi, kita mungkin mencoba mempertimbangkan untuk menggunakan teknik fraksi parsial, tetapi analisis cepat mengungkapkan bahwa ini tidak mungkin karena # x ^ 2-x + 1 # tidak faktorial.

Kami akan mencoba untuk mendapatkan integral ini ke bentuk yang benar-benar dapat kami integrasikan. Perhatikan kesamaan antara # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # dan # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; kita tahu bahwa integral yang terakhir dievaluasi # arctanx + C #. Karena itu kami akan berusaha mendapatkannya # x ^ 2-x + 1 # dalam bentuk #k (x-a) ^ 2 + 1 #, lalu terapkan # arctanx # aturan.

Kita harus menyelesaikan kotak # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(sangat berantakan, saya tahu)

Sekarang kita memilikinya dalam bentuk yang kita inginkan, kita dapat melanjutkan sebagai berikut:

# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / ((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #