Apa perbedaan antara antiderivatif dan integral?

Tidak ada perbedaan, kedua kata tersebut bersinonim.

Itu tergantung pada beberapa hal. Antiderivatif mana, umum atau khusus? integral mana yang pasti atau tidak terbatas? Dan, siapa yang kita tanyakan?

General Antiderivative dan Integral Tak Terbatas:

Banyak ahli matematika tidak membedakan integral yang tidak terbatas dan antiderivatif umum. Dalam kedua kasus untuk fungsi # f # jawabannya adalah #F (x) + C # dimana #F '(x) = f (x) #..

Beberapa (misalnya, penulis buku teks James Stewart) membuat perbedaan. Stewart menyebutnya sebagai antiderivatif "paling umum" # f #, mengakui konstanta yang berbeda pada setiap ketidakcocokan # f #. Misalnya, ia akan menjawab bahwa antiderivatif yang paling umum # 1 / x ^ 2 # adalah fungsi yang didefinisikan sedikit demi sedikit:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # untuk #x <0 # dan # (- 1) / x + C_2 # untuk #x> 0 #.

Integral tak terbatas dari # f #, dalam perawatan ini, selalu merupakan antiderivatif pada beberapa interval tertentu # f # kontinu.

Begitu #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, di mana dipahami bahwa domain dibatasi untuk beberapa bagian dari real positif atau subset dari real negatif.

Pencegahan khusus

Pencegahan khusus dari # f # adalah fungsi # F # (bukan keluarga fungsi) yang #F '(x) = f (x) #.

Sebagai contoh:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # untuk #x <0 # dan # (- 1) / x + 1 # untuk #x> 0 #.

adalah antidervatif khusus #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Dan:

#G (x) = (- 1) / x-3 # untuk #x <0 # dan # (- 1) / x + 6 # untuk #x> 0 #.

adalah antidervatif khusus yang berbeda #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Integral yang pasti

Integral pasti dari # f # dari #Sebuah# untuk # b # bukan fungsi. Itu angka.

Sebagai contoh:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Untuk lebih memperumit masalah, integral yang pasti ini dapat ditemukan, menggunakan Teorema Dasar Kalkulus, Bagian 2, dengan menemukan / antiderivatif integral / umum yang tidak terbatas terlebih dahulu, kemudian melakukan somearithmetic.)

Pertanyaan Anda terkait dengan apa yang sebenarnya merupakan "wawasan utama" dalam pengembangan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz.

Berfokus pada fungsi yang tidak pernah negatif, wawasan ini dapat diutarakan sebagai: "Antiderivatif dapat digunakan untuk menemukan area (integral) dan area (integral) dapat digunakan untuk menetapkan antiderivatif ". Ini adalah inti dari Teorema Dasar Kalkulus.

Tanpa khawatir tentang jumlah Riemann (bagaimanapun juga, Bernhard Riemann hidup hampir 200 tahun setelah Newton dan Leibniz tetap) dan mengambil gagasan area sebagai konsep intuitif (tidak terdefinisi), untuk fungsi non-negatif terus menerus #f (x) geq 0 # untuk semua # x # dengan #a leq x leq b #, pikirkan saja simbol integral yang pasti # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # mewakili area di bawah grafik # f # dan di atas # x #-Apa antara # x = a # dan # x = b #. Jika fungsi lain # F # dapat ditemukan sehingga #F '(x) = f (x) # untuk semua #a leq x leq b #, kemudian # F # disebut antiderivatif # f # melebihi interval # a, b # dan perbedaannya #F (b) -F (a) # sama dengan nilai integral yang pasti. Itu adalah, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Fakta ini berguna untuk temuan nilai integral yang pasti (area) ketika formula untuk antiderivatif dapat ditemukan.

Sebaliknya, jika kita menjadikan batas atas simbol integral sebagai variabel, sebut saja # t #, dan menentukan suatu fungsi # F # dengan formula #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (begitu #F (t) # benar-benar area di bawah grafik # f # antara # x = a # dan # x = t #, asumsi #a leq t leq b #), maka fungsi baru ini # F # didefinisikan dengan baik, dapat dibedakan, dan #F '(t) = f (t) # untuk semua angka # t # antara #Sebuah# dan # b #. Kami telah menggunakan integral untuk menetapkan suatu antiderivatif dari # f #. Fakta ini berguna untuk mendekati nilai-nilai antiderivatif ketika tidak ada formula untuk itu dapat ditemukan (menggunakan metode integrasi numerik seperti aturan Simpson). Misalnya, ini digunakan sepanjang waktu oleh ahli statistik ketika mendekati area di bawah kurva Normal. Nilai-nilai antiderivatif khusus dari kurva Normal standar sering diberikan dalam tabel dalam buku statistik.

Dalam hal di mana # f # memiliki nilai negatif, integral yang pasti harus dipikirkan dalam hal "area yang ditandatangani".