Gunakan a) dan b) untuk membuktikan hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Dari apa pun yang Anda katakan di sana, semua yang seharusnya kami lakukan adalah menunjukkan itu #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Sepertinya dari mana saja Anda mendapatkan pertanyaan ini bingung tentang definisi # hatT_L #.

Kami akhirnya akan membuktikan bahwa menggunakan

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

memberi

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

dan tidak #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Jika kita ingin semuanya konsisten, maka jika #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, harus seperti itu # hatD, hatx = bb (-1) #. Saya telah memperbaiki pertanyaan dan sudah mengatasinya.

Dari bagian 1, kami telah menunjukkan itu untuk definisi ini (itu #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Sejak #f (x_0 - L) # adalah status eigen dari # hatT_L #, bentuk langsung yang muncul di pikiran adalah operator eksponensial # e ^ (LhatD) #. Kami intuisi itu #hatD = + ihatp_x // ℏ #, dan kami akan menunjukkan bahwa itu benar.

Ingatlah bahwa dalam bukti yang ditunjukkan di bagian 1, kami telah menulis:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

dan di situlah kita harus menggunakannya. Yang harus kita lakukan adalah Taylor berkembang operator eksponensial dan menunjukkan bahwa bukti di atas masih berlaku.

Ini juga ditunjukkan dengan detail ringan di sini. Saya mengembangkannya menjadi lebih menyeluruh …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Berikan itu # L # adalah konstanta, kita dapat memperhitungkannya dari komutator. # hatx # bisa masuk, tidak tergantung pada indeks. Karena itu:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Sekarang, kami mengusulkan itu #hatD = ihatp_x // ℏ #, dan itu masuk akal karena kita tahu bahwa:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = batal (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

yang seperti itu # hatx, hatp_x = iℏ #. Itu berarti selama #hatT_L = e ^ (LhatD) #, kita akhirnya bisa mendapatkan definisi KONSISTEN di kedua bagian masalah dan mendapatkan:

#color (blue) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = warna (biru) (1) #

Dari ini, kami memperluas komutator:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Sekarang kita tahu # hatx, hatp_x #, tapi belum tentu # hatx, hatp_x ^ n #. Anda bisa meyakinkan diri sendiri bahwa

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

dan itu

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

yang seperti itu:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {batal (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - batal (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Kami menyadari itu # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Demikian,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #disediakan #n> = 1 #.

Dari ini, kami menemukan:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

di mana jika Anda mengevaluasi #n = 0 # istilah, Anda harus melihat bahwa itu menjadi nol, jadi kami menghilangkannya. Dalam prosesnya, kami memiliki:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1)) #

Di sini kita hanya mencoba membuat ini terlihat seperti fungsi eksponensial lagi.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(istilah grup)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(mengevaluasi bagian luar)

# = -L overbrace (jumlah_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) # #

(jika # n # mulai dari nol, # (n-1) #istilah menjadi # n #istilah th.)

Akibatnya, kami akhirnya mendapatkan:

# => warna (biru) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = warna (biru) (- LhatT_L) #

Dan kami kembali ke komutator yang asli, mis. itu

# hatx, hatT_L = -LhatT_L color (biru) (sqrt "") #

Terakhir, mari kita tunjukkan itu # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Menulis ini secara eksplisit, maka kita dapat melihatnya bekerja:

# = color (blue) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = warna (biru) (jumlah_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

dan sejak itu # hatD # selalu bepergian dengan sendirinya, # hatD ^ n, hatD = 0 # dan oleh karena itu,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (blue) (sqrt "") #