Bagaimana Anda menentukan persamaan lingkaran yang melewati titik D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Menjawab:

Gantikan setiap titik dengan persamaan lingkaran, kembangkan 3 persamaan, dan kurangi yang memiliki paling tidak 1 koordinat umum (# x # atau # y #).

Jawabannya adalah:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Penjelasan:

Persamaan lingkaran:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Dimana #α# #β# adalah koordinat pusat lingkaran.

Pengganti untuk setiap poin:

Poin D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Persamaan 1)

Poin E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Persamaan 2)

Poin F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Persamaan 3)

Persamaan pengurangan #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Persamaan pengurangan #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Sekarang itu #α# dan #β# diketahui, gantikan mereka di salah satu titik (kami akan menggunakan titik #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Jadi persamaan lingkaran menjadi:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Menjawab:

Persamaan lingkaran adalah # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Penjelasan:

Pertama kita perlu menemukan persamaan dua garis, masing-masing garis tegak lurus terhadap segmen yang dibentuk oleh sepasang titik yang diberikan dan melewati titik tengah dari pasangan titik ini.

Karena titik D dan E (# x_D = x_E = -5 #) berada dalam garis sejajar dengan sumbu-Y (# x = 0 #) dan poin E dan F (# y_E = y_F = 15 #) berada dalam garis sejajar dengan sumbu-X (# y = 0 #) lebih mudah untuk memilih pasangan poin ini.

Persamaan Line DE, di mana # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Persamaan garis 1 tegak lurus terhadap DE dan melewati titik tengah #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

baris 1# -> y = 5 #

Persamaan Line EF, di mana # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Persamaan garis 2 tegak lurus terhadap EF dan melewati titik tengah #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

baris 2# -> x = 5 #

Menggabungkan persamaan garis 1 dan 2 (# y = 5 # dan # x = 5 #) kami menemukan pusat lingkaran, titik C

#C (5,5) #

Jarak antara titik C ke salah satu titik yang diberikan sama dengan jari-jari lingkaran

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

Dalam rumus persamaan lingkaran:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #