Bagaimana Anda menemukan asimptot untuk y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Menjawab:

Vertikal

# x = 1 #

# x = 3 #

Horisontal

# x = 1 # (untuk keduanya # + - oo #)

Miring

Tidak ada

Penjelasan:

Membiarkan # y = f (x) #

• Asimptot vertikal

Temukan batas fungsi karena cenderung ke batas domainnya kecuali tak terbatas. Jika hasilnya tidak terbatas, dari itu # x # line adalah asymptote. Di sini, domainnya adalah:

#x in (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Jadi 4 mungkin asimtot vertikal adalah:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asimptot # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Asimptot vertikal untuk # x = 1 #

Catatan: untuk # x-1 # sejak # x # sedikit lebih rendah dari 1 hasilnya akan menjadi sesuatu yang sedikit lebih rendah dari 0, jadi tandanya akan negatif, karenanya catatan #0^-# yang kemudian diterjemahkan menjadi tanda negatif.

Konfirmasi untuk asymptote # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Dikonfirmasi

Asimptot # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Asimptot vertikal untuk # x = 3 #

Konfirmasi untuk asymptote # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Dikonfirmasi

• Asimtot horisontal

Tentukan kedua batas sesuai dengan fungsinya # + - oo #

Minus infinity #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (batal (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (batal (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asimptot horisontal untuk # y = 1 #

Ditambah tanpa batas #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (batal (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (batal (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asimptot horisontal untuk # y = 1 #

Catatan: Kebetulan fungsi ini memiliki horizontal yang sama untuk keduanya # -oo # dan # + oo #. Anda harus selalu memeriksa keduanya.

• Asimptot miring

Pertama-tama Anda harus menemukan kedua batasan:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Untuk masing-masing, jika batas ini adalah bilangan real, maka asimtotnya ada dan batasnya adalah kemiringannya. Itu # y # mencegat masing-masing adalah batasnya:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Namun, untuk menyelamatkan kami dari masalah, Anda dapat menggunakan beberapa fungsi "pengetahuan" untuk menghindari hal ini. Karena kita tahu #f (x) # memiliki asimtot horizontal untuk keduanya # + - oo # satu-satunya cara untuk memiliki oblique adalah memiliki jalur lain sebagai #x -> + - oo #. Namun, #f (x) # adalah #1-1# berfungsi jadi tidak mungkin ada dua # y # nilai untuk satu # x #, maka baris kedua tidak mungkin, jadi tidak mungkin untuk memiliki asimptot yang miring.