Apa itu lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) karena x mendekati 1 dari sisi kanan?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

grafik {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Nah, ini akan jauh lebih mudah jika kita hanya mengambil # ln # dari kedua sisi. Sejak # x ^ (1 / (1-x)) # kontinu dalam interval terbuka di sebelah kanan #1#, kita dapat mengatakan bahwa:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) Dalam x / (1-x) #

Sejak #ln (1) = 0 # dan #(1 - 1) = 0#, ini dalam bentuk #0/0# dan aturan L'Hopital berlaku:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

Dan tentu saja, # 1 / x # kontinu dari setiap sisi #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Akibatnya, batas aslinya adalah:

#color (blue) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = warna (biru) (1 / e) #