Menjawab:
Kurva persimpangan dapat ditentukan sebagai # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Penjelasan:
Saya tidak yakin apa yang Anda maksud dengan fungsi vektor. Tapi saya mengerti bahwa Anda berusaha untuk mewakili kurva perpotongan antara dua permukaan dalam pernyataan pertanyaan.
Karena silinder simetris di sekitar # z # sumbu, mungkin lebih mudah untuk mengekspresikan kurva dalam koordinat silindris.
Ubah ke koordinat silindris:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# r # adalah jarak dari # z # sumbu dan # theta # adalah sudut berlawanan arah jarum jam dari # x # sumbu dalam # x, y # pesawat.
Maka permukaan pertama menjadi
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# r ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, karena identitas trigonometri Pythagoras.
Permukaan kedua menjadi
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
Kami belajar dari persamaan permukaan pertama bahwa kurva perpotongan harus pada jarak kuadrat # r ^ 2 = 81 # dari permukaan pertama, memberikan itu
#z = 81 dosa theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, kurva yang ditentukan oleh # theta #. Langkah terakhir adalah identitas trigonometri dan dilakukan hanya dari preferensi pribadi.
Dari ungkapan ini kita melihat bahwa kurva itu memang kurva, karena ia memiliki satu derajat kebebasan.
Secara keseluruhan, kita dapat menulis kurva sebagai
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, yang merupakan fungsi bernilai vektor dari satu variabel # theta #.
Menjawab:
Lihat di bawah.
Penjelasan:
Mempertimbangkan persimpangan
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z dalam RR):} #
dengan
# C_2-> z = x y #
atau # C_1 nn C_2 #
kita punya
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
sekarang pemecahan untuk # x ^ 2, y ^ 2 # kami mendapatkan kurva parametrik
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # atau
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2 -4 z ^ 2)))):} #
yang nyata untuk
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Terlampir plot yang menunjukkan kurva persimpangan merah (satu daun).
