Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Hitung nilai ekspektasi kapan saja t = t_1, phi_n adalah fungsi energi eigen dari sumur potensial tak terbatas. Tuliskan jawabannya dalam istilah E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Hitung nilai ekspektasi kapan saja t = t_1, phi_n adalah fungsi energi eigen dari sumur potensial tak terbatas. Tuliskan jawabannya dalam istilah E_0?
Anonim

Baiklah, saya mengerti # 14 / 5E_1 #… dan mengingat sistem yang Anda pilih, itu tidak dapat diungkapkan kembali dalam hal # E_0 #.

Ada begitu banyak aturan mekanika kuantum yang dilanggar dalam pertanyaan ini …

  • Itu # phi_0 #, karena kami menggunakan solusi sumur potensial tak terbatas, menghilang secara otomatis … #n = 0 #jadi #sin (0) = 0 #.

Dan untuk konteks, kami telah membiarkan #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

  • ini mustahil untuk menulis jawaban dalam hal # E_0 # karena #n = 0 # TIDAK ada untuk sumur potensial yang tak terbatas. Kecuali Anda menginginkan partikel lenyap , Saya harus menulisnya dalam hal # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

  • Energi adalah konstanta gerakan, mis. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Jadi sekarang…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Nilai ekspektasi adalah konstanta gerakan, jadi kami tidak peduli jam berapa # t_1 # kami memilih. Kalau tidak, ini bukan sistem konservatif …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # untuk beberapa #n = 1, 2, 3,… #

Bahkan, kita sudah tahu apa yang seharusnya, karena Hamiltonian untuk sumur potensial tak terbatas satu-dimensi adalah waktu-INDEPENDEN …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

dan # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # # pergi ke 1 di integral:

#color (blue) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

di mana kita membiarkan #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Sekali lagi, semua faktor fase dibatalkan, dan kami mencatat bahwa istilah off-diagonal menjadi nol karena ortogonalitas dari # phi_n #.

Penyebutnya adalah norma # Psi #, yang mana

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Karena itu, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Itu memberi:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) batalkan (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) batalkan (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) batal (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) batalkan (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Terapkan turunannya:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Konstanta mengapung:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

Dan integral ini dikenal karena alasan fisik sebagai setengah jalan #0# dan # L #, tidak tergantung pada # n #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = warna (biru) (14/5 E_1) #

Menjawab:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Penjelasan:

Setiap status stasioner sesuai dengan nilai eigen energi # E_n # mengambil faktor fase #e ^ {- iE_n t} # evolusi waktu. Status yang diberikan adalah tidak keadaan stasioner - karena ini adalah superposisi dari status eigen energi yang dimiliki oleh nilai eigen yang berbeda. Akibatnya, ia akan berkembang dalam waktu dengan cara yang tidak sepele. Namun, persamaan Schroedinger yang mengatur waktu evolusi keadaan adalah linier - sehingga setiap fungsi eigen energi berevolusi secara mandiri - mengambil faktor fasanya sendiri.

Jadi, fungsi gelombang mulai

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

berkembang dalam waktu # t # untuk

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Dengan demikian, nilai ekspektasi energi tepat waktu # t # diberikan oleh

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) kali (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

dimana kami telah menggunakan fakta bahwa #phi_i (x) # adalah fungsi eigen energi, sehingga #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Ini masih memberi kita sembilan syarat. Namun, perhitungan akhir banyak disederhanakan oleh fakta bahwa fungsi eigen energi adalah orto-dinormalisasi, yaitu mereka patuh

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Ini berarti bahwa dari sembilan integral, hanya tiga yang bertahan, dan kita dapatkan

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Menggunakan hasil standar itu #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, kita punya # E_1 = 4E_0 # dan # E_2 = 9E_0 # untuk sumur potensial tanpa batas (Anda mungkin lebih terbiasa dengan ungkapan yang mengatakan #E_n propto n ^ 2 # untuk sumur yang tak terbatas - tetapi dalam kondisi dasar ini diberi label # E_1 # - di sini kita memberinya label # E_0 # - karenanya perubahan). Demikian

# <E> = (1/6 kali 1 + 1/3 kali 4 + 1/2 kali 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Catatan:

  1. Sementara fungsi eigen energi individu berevolusi dalam waktu dengan mengambil faktor fase, fungsi gelombang keseluruhan tidak berbeda dari yang awal hanya dengan faktor fase - inilah mengapa ia tidak lagi menjadi keadaan stasioner.
  2. Integral yang terlibat seperti

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} kali int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

    dan ini terlihat seperti mereka tergantung waktu. Namun, satu-satunya integral yang bertahan adalah untuk # i = j # - dan ini justru yang ketergantungan waktu dibatalkan.

  3. Hasil terakhir cocok dengan kenyataan itu #hat {H} # dilestarikan - meskipun negara bukan keadaan stasioner - nilai ekspektasi energi tidak tergantung waktu.
  4. Fungsi gelombang asli sudah dinormalisasi sejak itu # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # dan normalisasi ini dipertahankan dalam evolusi waktu.
  5. Kita bisa mengurangi banyak pekerjaan jika kita menggunakan hasil mekanika kuantum standar - jika fungsi gelombang diperluas dalam bentuk #psi = sum_n c_n phi_n # Dimana # phi_n # adalah fungsi eigen dari operator Hermitian #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, kemudian # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, asalkan, tentu saja bahwa negara-negara dinormalisasi dengan baik.
Hitungan
Pilihan Editor