Pertanyaan # 0df97

Menjawab:

Jawaban ke 4 adalah # e ^ -2 #.

Penjelasan:

Masalahnya adalah:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Sekarang ini adalah masalah yang sulit. Solusinya terletak pada pengenalan pola yang sangat hati-hati. Anda dapat mengingat kembali definisi # e #:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #

Jika kita dapat menulis ulang batas sebagai sesuatu yang mendekati definisi # e #, kami akan memiliki jawaban kami. Jadi, mari kita coba.

Catat itu #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # setara dengan:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Kita dapat memisahkan pecahan seperti:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Kita sudah sampai di sana! Mari kita faktor a #-2# dari atas dan bawah:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (batal (-2)) / (batal (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Mari kita terapkan substitusi # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Sifat-sifat eksponen mengatakan: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Begitu #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # setara dengan:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Properti eksponen juga mengatakan bahwa: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Yang berarti ini semakin berkurang menjadi:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Menurut definisi, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; dan menggunakan substitusi langsung pada batas hasil kedua:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Jadi solusinya adalah …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #