Mohon selesaikan ini? opsi mana yang benar?

Ini mudah dilihat sebagai tidak bisa dilakukan dengan cara dasar, jadi saya hanya menyelesaikannya secara numerik dan mendapat:

Saya mengevaluasi integral untuk #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Pada saat itu jelas sudah mencapai #0.5#.

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

atau

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Sekarang dengan asumsi bahwa salah satu jawaban itu benar, yang paling alami tampaknya adalah yang keempat 4)

CATATAN

untuk #x dalam 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Menjawab:

#1/2#

Penjelasan:

Seperti yang telah ditunjukkan dalam solusi sebelumnya, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

ada dan dibatasi:

# 1/2 le I_n <1 #

Sekarang integrasi dengan bagian menghasilkan

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n kali (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Sekarang, sejak itu # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # di #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Sejak #lim_ (n to oo) I_n # ada, kami punya

#lim_ (n to oo) J_n = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) kali lim_ (n to oo) I_ (n + 2) = 0 #

Karenanya

# lim_ (n to oo) I_n = 1/2 #