Pertanyaan # 69feb

Menjawab:

Garis normal: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Garis singgung: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Penjelasan:

Untuk intuisi: Bayangkan itu fungsinya #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # menggambarkan ketinggian beberapa medan, di mana # x # dan # y # koordinat di pesawat dan #ln (y) # diasumsikan sebagai logaritma natural. Lalu semuanya # (x, y) # seperti yang #f (x, y) = a # (Tinggi) sama dengan beberapa konstanta #Sebuah# disebut kurva level. Dalam kasus kami, ketinggian konstan #Sebuah# adalah nol, karena #f (x, y) = 0 #.

Anda mungkin akrab dengan peta topografi, di mana garis tertutup menunjukkan garis dengan ketinggian yang sama.

Sekarang gradien #grad f (x, y) = ((sebagian f) / (parsial x), (parsial f) / (parsial x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # memberi kita arah pada suatu titik # (x, y) # di mana #f (x, y) # (tinggi) mengubah tercepat. Ini bisa lurus ke atas atau lurus ke bawah bukit, selama medan kita mulus (dapat dibedakan), dan kita tidak berada di atas, di bawah, atau di dataran tinggi (titik ekstrem). Ini sebenarnya arah normal ke kurva ketinggian konstan, sehingga pada # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Oleh karena itu, garis normal ke arah itu melalui # (2, e ^ 2) # dapat digambarkan sebagai

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, dimana #s dalam mathbbR # adalah parameter nyata. Anda bisa menghilangkannya # s # untuk mengekspresikan # y # sebagai fungsi dari # x # jika Anda suka, untuk menemukan

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Turunan terarah dalam arah tangen harus #0# (Berarti ketinggian itu tidak berubah), jadi vektor singgung # (u, v) # harus memuaskan

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, dimana # cdot # berarti produk titik. Begitu # (u, v) = (1, e ^ 2) # adalah salah satu pilihan yang valid. Oleh karena itu, garis singgung melalui # (2, e ^ 2) # dapat digambarkan sebagai

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t di mathbbR #.

Memecahkan untuk # y # memberikan itu

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Anda akhirnya harus memeriksanya # (2, e ^ 2) # terletak pada kurva #f (x, y) #, pada garis singgung, dan pada garis normal.