Pertanyaan # 27939

Menjawab:

Seperti yang ditunjukkan Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # BUKAN nol. (Saya lupa memeriksa itu.) Angka nol lainnya adalah # 1-sqrt3 i # dan #1#.

Penjelasan:

Karena semua koefisien adalah bilangan real, setiap nol imajiner harus muncul dalam pasangan konjugat.

Karena itu, # 1-sqrt3 i # adalah nol.

Jika # c # adalah nol kalau begitu # z-c # adalah faktor, jadi kita bisa berkembang biak

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i))) # mendapatkan # z ^ 2-2z + 4 #

dan kemudian membagi #P (z) # oleh kuadrat itu.

Tetapi lebih cepat untuk mempertimbangkan kemungkinan nol rasional # P # pertama. Atau tambahkan koefisien untuk melihatnya #1# juga nol.

Menjawab:

#1# dan # 1 - sqrt3 i #

Penjelasan:

Ada kesalahan dalam pertanyaan Anda. Akar seharusnya # 1 + sqrt3 i #. Anda dapat memverifikasi ini dengan memasukkan nilai dalam ekspresi. Jika itu root, ekspresi harus dievaluasi menjadi nol.

Ekspresi memiliki semua koefisien nyata, sehingga oleh Teorema Akar Konjugat Kompleks (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), kita memiliki bahwa akar kompleks lainnya adalah # 1 - sqrt3 i #, Jelas, root ketiga (katakanlah #Sebuah#) harus nyata, karena tidak dapat memiliki konjugat yang kompleks; jika tidak, akan ada 4 akar, yang tidak mungkin untuk persamaan derajat ke-3.

Catatan

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i))) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Sejak # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Kami akan mencoba untuk mendapatkan faktor ini dalam ekspresi.

Kami dapat menulis:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i))) (z - (1 + sqrt3 i))) #

Menjawab:

Sebagai intro, saya pikir seharusnya root #warna (biru) (1 + sqrt3) # dan tidak #color (red) (- 1 + sqrt3) #

Atas dasar itu jawaban saya adalah:

#z dalam {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Penjelasan:

Dengan menggunakan gagasan konjugat kompleks dan beberapa lainnya trik keren.

#P (z) # adalah polinomial derajat #3#. Ini menyiratkan bahwa itu hanya seharusnya #3# akar.

Satu fakta menarik tentang akar yang rumit adalah bahwa mereka tidak pernah muncul sendiri. Mereka selalu muncul di pasangan konjugasi.

Jadi jika # 1 + isqrt3 # adalah satu root, maka konjugatnya: # 1-isqrt3 # pastinya root juga!

Dan karena hanya ada satu root lagi, kita dapat memanggil root itu # z = a #.

Ini bukan bilangan kompleks karena, akar kompleks selalu muncul berpasangan.

Dan karena ini adalah yang terakhir dari #3# root, tidak mungkin ada pasangan lain setelah yang pertama!

Pada akhirnya faktor dari #P (z) # mudah ditemukan # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "dan" (z-a) #

NB: Perhatikan bahwa perbedaan antara root dan faktor adalah:

- Sebuah root bisa jadi # z = 1 + i #

Tetapi faktor yang sesuai adalah # z- (1 + i) #

Trik kedua adalah, dengan memfaktorkan #P (z) # kita harus mendapatkan sesuatu seperti ini:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Selanjutnya, perluas kawat gigi, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Selanjutnya, kami menyamakan ini dengan polinomial asli #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Karena kedua polinomial identik, kami menyamakan koefisien # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #dan # z ^ 0 #(istilah konstan) di kedua sisi,

Sebenarnya, kita hanya perlu memilih satu persamaan dan menyelesaikannya #Sebuah#

Menyamakan istilah konstan, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Maka akar terakhir adalah #warna (biru) (z = 1) #