Selesaikan persamaan berikut x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0?

Menjawab:

#x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i #

Penjelasan:

Diberikan:

# x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0 #

Perhatikan bahwa ini secara efektif kuadratik # x ^ 4 # seperti itu:

# (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = 0 #

Kami dapat memfaktorkannya untuk menemukan:

# 0 = (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = (x ^ 4-1) (x ^ 4-9) #

Setiap faktor kuartik yang tersisa adalah perbedaan kuadrat, sehingga kita dapat menggunakan:

# A ^ 2-B ^ 2 = (A-B) (A + B) #

mencari:

# x ^ 4-1 = (x ^ 2) ^ 2-1 ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) #

# x ^ 4-9 = (x ^ 2) ^ 2 - 3 ^ 2 = (x ^ 2-3) (x ^ 2 + 3) #

Faktor kuadrat yang tersisa semua faktor sebagai perbedaan kuadrat juga, tetapi kita perlu menggunakan koefisien irasional dan / atau kompleks untuk melakukan beberapa dari mereka::

# x ^ 2-1 = x ^ 2-1 ^ 2 = (x-1) (x + 1) #

# x ^ 2 + 1 = x ^ 2-i ^ 2 = (x-i) (x + i) #

# x ^ 2-3 = x ^ 2- (sqrt (3)) ^ 2 = (x-sqrt (3)) (x + sqrt (3)) #

# x ^ 2 + 3 = x ^ 2- (sqrt (3) i) ^ 2 = (x-sqrt (3) i) (x + sqrt (3) i) #

Karenanya nol dari polinomial oktik asli adalah:

#x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i #