Apakah yang dimaksud dengan sqrt (3 + i) dalam bentuk + bi?

Menjawab:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Seharusnya # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Jadi, menyamakan bagian nyata dan imajiner yang kita dapatkan:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Karenanya #b = 1 / (2a) #, yang bisa kita gantikan dengan persamaan pertama untuk mendapatkan:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Kalikan kedua ujungnya dengan # 4a ^ 2 # mendapatkan:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Begitu:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Dari rumus kuadratik yang kita dapatkan:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Sejak #sqrt (10)> 3 #, memilih #+# masuk untuk mendapatkan nilai nyata untuk #Sebuah#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

dimana # b # memiliki tanda yang sama dengan #Sebuah# sejak #b = 1 / (2a) #

Akar kuadrat utama adalah di Q1 dengan #a, b> 0 #

Itu adalah:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Padahal, jika #c, d> 0 # maka kita juga bisa menunjukkan:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) saya #