Menjawab:
Berkumpul ke # 1 + i # (pada kalkulator grafik Ti-83 saya)
Penjelasan:
Membiarkan # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}}} #
Pertama, dengan asumsi bahwa seri tak hingga ini bertemu (mis. Mengasumsikan S ada dan mengambil nilai bilangan kompleks), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
Dan jika Anda memecahkan untuk S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
dan menerapkan rumus kuadratik yang Anda dapatkan:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 siang saya #
Biasanya fungsi akar kuadrat mengambil nilai positif demikian # S = 1 + i #
Jadi, jika konvergen maka harus konvergen # 1 + i #
Sekarang yang harus Anda lakukan adalah membuktikan bahwa itu menyatu atau jika Anda malas seperti saya maka Anda bisa pasang # sqrt {-2} # ke dalam kalkulator yang dapat menangani angka imajiner dan menggunakan relasi perulangan:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Saya mengulangi ini berkali - kali pada Ti - 83 saya dan menemukan bahwa itu semakin dekat misalnya setelah saya ulangi di suatu tempat seperti 20 kali saya mendapat sekitar
# 1.000694478 + 1.001394137i #
pendekatan yang cukup bagus
