Menjawab:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # untuk #b dalam RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # untuk #b = | b | e ^ (itheta) di CC #
Penjelasan:
Dengan teorema dasar aljabar, kita dapat memfaktorkan ekspresi yang diberikan sebagai
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
dimana masing-masing # alpha_k # adalah akar dari # x ^ 8 + b ^ 8 #.
Memecahkan untuk # alpha_k #, kita mendapatkan
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | b | (-1) ^ (1/8) # (asumsi #b dalam RR #)
# = | b | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k dalam ZZ #
Sebagai #k dalam {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # akun semua nilai unik dari formulir itu, kami mendapatkan faktorisasi kami untuk #b dalam RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Untuk yang lebih umum #b dalam CC #, lalu seandainya #b = | b | e ^ (itheta) #, kita dapat pergi melalui perhitungan serupa untuk menemukan
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
berarti
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
Maaf, saya mengabaikan beberapa detail kecil, jawaban yang diberikan oleh sente benar.
Seandainya #b ne 0 # dan # a, b dalam RR # kita punya
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # kemudian
# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # kemudian
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # adalah # k = 0,1, cdots, 7 # akar atau faktor.
Menetapkan
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
lalu
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
begitu
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # dengan koefisien nyata.
