Selesaikan pertanyaan 39?

Menjawab:

B

Penjelasan:

Pertama, kita harus menggunakan fakta bahwa angka harus berurutan, dengan memanggil nomor yang kita pilih # n-1, n, n + 1 #, dimana jika kita mematuhi batasannya # n # harus antara #-9# dan #9# inklusif.

Kedua, perhatikan bahwa jika kita mendapatkan nilai tertentu untuk spesifik # a, b, c #, kita dapat bertukar nilai-nilai spesifik tersebut, tetapi masih mendapatkan hasil yang sama. (Saya percaya ini disebut permutasi tetapi lupakan istilah yang tepat)

Jadi kita bisa membiarkannya saja # a = n-1 #,# b = n #,# c = n + 1 #, sekarang kita pasang ini:

# (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((n-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + n + 1) ^ 2 #

# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Sekarang masalah kita adalah untuk melihat nilai apa dari # -9 <= n <= 9 # ekspresi memberikan nilai integer, berapa banyak nilai berbeda yang kita dapatkan.

Saya akan melanjutkan solusi dalam jawaban yang terpisah hanya untuk membuatnya lebih mudah dibaca.

Menjawab:

Bagian 2 dari sol'n saya. Ini akan menggunakan aritmatika modular, tetapi jika Anda tidak terbiasa dengan itu maka selalu ada pilihan untuk menundukkan semua nilai yang diperlukan dari # n #

Penjelasan:

Karena ekspresi harus berupa nilai integer, bagian bawah harus membagi bagian atas dengan tepat. Jadi, pembilang harus memiliki faktor 3. Dan untuk ini kita harus menggunakan aritmatika modular.

Periksa yang memenuhi: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Sekarang kerja keras:

1. Kami mencoba # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, yang tidak berfungsi

2. Kami mencoba # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, yang bekerja

3. Kami mencoba # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, yang tidak berfungsi

Jadi kami menyimpulkan itu # n # harus dalam bentuk # 3k + 1 #, atau satu lebih dari kelipatan 3. Mengingat rentang kami untuk n, sedang # -9 <= n <= 9 #, kami memiliki nilai yang mungkin dari:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

Pada titik ini Anda mungkin dapat menggunakan fakta itu # n = 3k + 1 #, tetapi dengan hanya 6 nilai untuk diperiksa, saya memutuskan untuk menghitung masing-masing sebagai gantinya, dan satu-satunya nilai untuk # n # itu berhasil # n = 1 #, menghasilkan hasil #1#.

Jadi akhirnya, satu-satunya set angka berurutan yang menghasilkan hasil integer adalah #0,1,2#, memberi #1# maka jawabannya adalah # B #